[2,0 \mathrm{pt}] Mostre pela definição de limite que
\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}-2\right)=-1

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, pela definição de limite, que
\lim_{x\to1}\bigl(x^{2}-2\bigr)=-1.
O conteúdo é a definição \varepsilon- \delta de limite de função real, e vamos precisar manipular a expressão \lvert f(x)-L\rvert.

Passo 2

Pela definição, queremos provar que dado \varepsilon>0 existe \delta>0 tal que, sempre que
0<\lvert x-1\rvert<\delta,
tenha-se
\bigl\lvert (x^{2}-2)-(-1)\bigr\rvert<\varepsilon.
Observe que
\bigl\lvert (x^{2}-2)+1\bigr\rvert = \lvert x^{2}-1\rvert = \lvert x-1\rvert\,\lvert x+1\rvert.

Passo 3

Para controlar \lvert x+1\rvert, imponha \delta\le1. Então se \lvert x-1\rvert<1 vem 0<x<2 e
\lvert x+1\rvert < 3.
Logo
\lvert x^{2}-1\rvert < 3\,\lvert x-1\rvert.
Para garantir 3\,\lvert x-1\rvert<\varepsilon, basta pedir \lvert x-1\rvert<\varepsilon/3. Definimos então
\delta = \min\{1,\;\varepsilon/3\}.

Passo 4

Com essa escolha, sempre que 0<\lvert x-1\rvert<\delta obtemos
\bigl\lvert (x^{2}-2)-(-1)\bigr\rvert = \lvert x^{2}-1\rvert < 3\,\lvert x-1\rvert < 3\cdot(\varepsilon/3) = \varepsilon.
Isso completa a prova pela definição formal de limite.

Resposta

\displaystyle \lim_{x\to1}\bigl(x^{2}-2\bigr)=-1

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