Calcule o limite ou mostre que não existe:
\lim _{t \rightarrow 1} \frac{t-1}{t^{2}-2 t+1}

Passo 1

O enunciado pede o cálculo do limite
\lim_{t\to1}\frac{t-1}{t^2-2t+1}.
Esse problema envolve limites e fatoração de expressões para resolver uma indeterminação do tipo \tfrac{0}{0}.

Passo 2

Observamos que o denominador é um quadrado perfeito:
t^2 - 2t + 1 = (t-1)^2.

Passo 3

Para t \neq 1, podemos simplificar a fração:
\frac{t-1}{t^2 - 2t +1} = \frac{t-1}{(t-1)^2} = \frac{1}{t-1}.

Passo 4

Analisamos os limites laterais de \frac{1}{t-1}:
Ao aproximar t\to1^+, temos t-1>0 e
\frac{1}{t-1}\to+\infty.
Ao aproximar t\to1^-, temos t-1<0 e
\frac{1}{t-1}\to-\infty.
Como os limites laterais são diferentes, o limite não existe (diverge para \pm\infty).

Resposta

O limite não existe.

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