[2,0 \mathrm{pt}] Determine o valor de A de modo que a função:
f(x)= \begin{cases}x^{2}+x+A, & \text { se } x \geq 1 \\\ \frac{x^{3}-1}{x-1}, & \text { se } x<1\end{cases}
seja contínua.

Passo 1

Resumindo, temos a função definida por partes
f(x)= \begin{cases} x^{2}+x+A, & x\ge1,\\[6pt] \dfrac{x^{3}-1}{x-1}, & x<1, \end{cases}
e queremos escolher A de modo que f seja contínua em x=1. Para isso, precisamos que
\lim_{x\to1^{-}}f(x) \;=\; f(1)\;=\;\lim_{x\to1^{+}}f(x).]

Passo 2

Calcular f(1) vindo da direita (ou no próprio ponto), usando a expressão válida para x\ge1:
f(1)=1^{2}+1+A=2+A.

Passo 3

Calcular o limite à esquerda em x=1, que usa a fração \frac{x^{3}-1}{x-1}. Factorizando o numerador:
x^{3}-1=(x-1)\,(x^{2}+x+1),
logo, para x\neq1,
\frac{x^{3}-1}{x-1}=x^{2}+x+1.
Portanto
\lim_{x\to1^{-}}f(x) =\lim_{x\to1^{-}}\bigl(x^{2}+x+1\bigr) =1+1+1=3.

Passo 4

Para f ser contínua em x=1, impomos
\lim_{x\to1^{-}}f(x)=f(1),
isto é,
3 = 2+A \quad\Longrightarrow\quad A=1.

Resposta

A=1

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