Calcule o limite ou mostre que não existe:
\lim _{t \rightarrow \infty} \frac{\operatorname{sen}\left(t^{2}\right)}{t}

Passo 1

O enunciado pede para calcular \displaystyle \lim_{t \to \infty} \frac{\sin(t^2)}{t}.
O conteúdo aqui é cálculo de limite no infinito usando o Teorema do Confronto (ou Teorema do Sanduíche), que diz que se uma função fica entre duas outras cujos limites são iguais, então ela também tende a esse mesmo valor.

Passo 2

Sabemos que para qualquer x vale -1 \le \sin(x) \le 1.
Substituindo x = t^2 e dividindo tudo por t>0, obtemos
-\,\frac{1}{t} \;\le\; \frac{\sin(t^2)}{t} \;\le\; \frac{1}{t}.

Passo 3

Agora calculamos os limites das funções que aparecem no confronto:
\lim_{t \to \infty} \bigl(-\tfrac{1}{t}\bigr) = 0 \quad\text{e}\quad \lim_{t \to \infty} \tfrac{1}{t} = 0.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como -\tfrac{1}{t} \le \tfrac{\sin(t^2)}{t} \le \tfrac{1}{t}
e ambas as “bordas” tendem a 0, concluímos que
\lim_{t \to \infty} \frac{\sin(t^2)}{t} = 0.

Resposta

\displaystyle 0

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