Calcule o limite ou mostre que não existe:
\lim _{t \rightarrow 1} \frac{|t-1|}{t-1}

Passo 1

O enunciado pede para calcular
\lim_{t\to1}\frac{\lvert t-1\rvert}{t-1}
Esse é um caso clássico de limite que depende do sinal de t-1. Vamos usar a definição piecewise de valor absoluto e analisar os limites laterais.

Passo 2

Analisando o limite pela direita t\to1^+: quando t>1 temos t-1>0, logo
\lvert t-1\rvert = t-1
e
\frac{\lvert t-1\rvert}{t-1} = \frac{t-1}{t-1} = 1.
Portanto
\lim_{t\to1^+}\frac{\lvert t-1\rvert}{t-1}=1.

Passo 3

Analisando o limite pela esquerda t\to1^-: quando t<1 temos t-1<0, logo
\lvert t-1\rvert = -(t-1)=1-t
e
\frac{\lvert t-1\rvert}{t-1} = \frac{1-t}{t-1} = -1.
Portanto
\lim_{t\to1^-}\frac{\lvert t-1\rvert}{t-1}=-1.

Passo 4

Como os limites laterais são diferentes 1\neq -1, o limite ordinário não existe.

Resposta

O limite não existe.

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