[2,0 \mathrm{pt}] Encontre b de modo que a reta y=x+b é tangente à parábola de equação y=x^{2} e indique o ponto de tangência.

Passo 1

O enunciado pede para achar o valor de b de forma que a reta
y = x + b
seja tangente à parábola
y = x^2.
Conteúdo: interseção de reta e parábola e condição de tangência (raiz dupla). Para resolver, vamos igualar as duas expressões de y, obter um polinômio em x e impor que ele tenha discriminante zero.

Passo 2

Igualamos as duas equações para encontrar os pontos de interseção:
x^2 = x + b
ou seja
x^2 - x - b = 0.

Passo 3

Para que haja tangência, a equação quadrática
x^2 - x - b = 0
deve ter uma única solução real (raiz dupla). A condição é que o discriminante seja zero:
\Delta = (-1)^2 - 4\cdot1\cdot(-b) = 1 + 4b = 0.

Passo 4

Da condição \Delta=0 segue
1 + 4b = 0 \quad\Longrightarrow\quad b = -\frac{1}{4}.

Passo 5

Com b=-\tfrac14, a raiz dupla é
x = \frac{1}{2}
(calculada por \tfrac{-(-1)}{2\cdot1}=\tfrac12). O ponto de tangência está na parábola, então
y = x^2 = \left(\tfrac12\right)^2 = \tfrac{1}{4}.

Resposta

O valor de b é -\tfrac{1}{4} e o ponto de tangência é \bigl(\tfrac12,\tfrac14\bigr).

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