Calcule a função derivada de:
f(x)=\frac{2 x^{5}+3 x}{x^{3}-2 x+1}

Passo 1

O enunciado pede a derivada de
f(x)=\frac{2x^{5}+3x}{x^{3}-2x+1}.
Como temos um quociente de funções polinomiais, o conteúdo que vamos usar é a regra do quociente, que diz
\bigl(\tfrac{u}{v}\bigr)'=\frac{u'\,v - u\,v'}{v^{2}}.

Passo 2

Definimos
u(x)=2x^{5}+3x, \quad v(x)=x^{3}-2x+1.
Derivando cada uma:
u'(x)=10x^{4}+3, \quad v'(x)=3x^{2}-2.

Passo 3

Aplicando a regra do quociente, obtemos
f'(x) =\frac{u'(x)\,v(x)-u(x)\,v'(x)}{\bigl(v(x)\bigr)^{2}} =\frac{(10x^{4}+3)(x^{3}-2x+1)-(2x^{5}+3x)(3x^{2}-2)}{(x^{3}-2x+1)^{2}}.

Passo 4

Vamos expandir e simplificar o numerador:
(10x^{4}+3)(x^{3}-2x+1) =10x^{7}-20x^{5}+10x^{4}+3x^{3}-6x+3,
(2x^{5}+3x)(3x^{2}-2) =6x^{7}-4x^{5}+9x^{3}-6x.
Subtraindo, o numerador vira
10x^{7}-20x^{5}+10x^{4}+3x^{3}-6x+3 \;-\; \bigl(6x^{7}-4x^{5}+9x^{3}-6x\bigr) =4x^{7}-16x^{5}+10x^{4}-6x^{3}+3.

Passo 5

Portanto, a derivada simplificada é
f'(x) =\frac{4x^{7}-16x^{5}+10x^{4}-6x^{3}+3}{(x^{3}-2x+1)^{2}}.

Resposta

f'(x) =\frac{4x^{7}-16x^{5}+10x^{4}-6x^{3}+3}{(x^{3}-2x+1)^{2}}.

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