EXTRA [1,0 \mathrm{pt}] Seja f(x) uma função que satisfaz 746<f(x)<500012 para todo x \in \mathbb{R}. Calcule \lim _{x \rightarrow 0} x^{3} f(x)

Passo 1

O enunciado diz que existe uma função f(x) tal que
746 < f(x) < 500012
para todo x\in\mathbb{R}, e pede \lim_{x\to0} x^3 f(x).
O conteúdo principal é cálculo de limite usando o Teorema do Confronto (squeeze theorem).

Passo 2

Como 746<f(x)<500012 temos, em valor absoluto,
|f(x)| \le 500012.
Multiplicando por |x^3| em ambos os lados, obtemos
|x^3 f(x)| \le 500012\,|x^3|.

Passo 3

Calculamos o limite da função que está no lado direito:
\lim_{x\to0} 500012\,|x^3| =500012\;\lim_{x\to0}|x^3| =500012\cdot0 =0.

Passo 4

Pelo Teorema do Confronto, como
-\,500012\,|x^3|\;\le\;x^3f(x)\;\le\;500012\,|x^3|
e ambos os limites das extremidades são zero, segue-se que
\lim_{x\to0}x^3f(x)=0.

Resposta

0

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