Exercício 2.4. Em quais pontos a função f(x, y)=e^{-x^{2}}+y^{3} possui a maior taxa de variação em relação à variável x ? Dica: use resultados de cálculo de uma variável. (Resposta: (-1 / \sqrt{2}, y) para y qualquer)

Passo 1

O enunciado nos dá a função f(x,y)=e^{-x^2}+y^3 e pede em quais pontos ela atinge a maior taxa de variação em relação à variável x. Para isso vamos usar o conceito de derivada parcial em x e, em seguida, maximizar essa derivada como função de uma única variável.

Passo 2

A derivada parcial de f em relação a x é
\frac{\partial f}{\partial x} =\frac{\partial}{\partial x}\bigl(e^{-x^2}\bigr) +\frac{\partial}{\partial x}\bigl(y^3\bigr) =-2x\,e^{-x^2}+0 =-2x\,e^{-x^2}.

Passo 3

Para encontrar onde \frac{\partial f}{\partial x} é máxima, definimos
\varphi(x)=-2x\,e^{-x^2}
e procuramos os pontos críticos de \varphi resolvendo \varphi'(x)=0.

Passo 4

Calculamos
\varphi'(x) =\frac{d}{dx}\bigl(-2x\,e^{-x^2}\bigr) =-2\,e^{-x^2}+(-2x)(-2x)\,e^{-x^2} =e^{-x^2}\bigl(4x^2-2\bigr).
Igualando a zero:
4x^2-2=0 \quad\Longrightarrow\quad x^2=\tfrac12 \quad\Longrightarrow\quad x=\pm\frac{1}{\sqrt{2}}.

Passo 5

Para ver qual é máximo, avaliamos \varphi nos dois candidatos:
em x=1/\sqrt{2} temos \varphi=-\sqrt{2}\,e^{-1/2}<0,
em x=-1/\sqrt{2} temos \varphi=+\sqrt{2}\,e^{-1/2}>0.
Como buscamos a maior taxa de aumento, escolhemos x=-1/\sqrt{2}. Note que esse resultado não depende de y.

Resposta

Os pontos onde \,f tem maior taxa de variação em x são
\bigl(-\tfrac{1}{\sqrt{2}},\,y\bigr)
para qualquer valor de y.

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