[2,0 \mathrm{pt}] Mostre pela definição de limite que
\lim _{x \rightarrow 1}\left(x^{2}-2 x+2\right)=1 .

Passo 1

O enunciado nos pede para mostrar que
\lim_{x\to1}\bigl(x^2-2x+2\bigr)=1
pelo método ε–δ. Ou seja, dado qualquer \varepsilon>0, temos que encontrar \delta>0 tal que, sempre que 0<|x-1|<\delta, então
\bigl|\,\bigl(x^2-2x+2\bigr)-1\bigr|<\varepsilon.

Passo 2

Vamos simplificar a diferença entre f(x)=x^2-2x+2 e o limite proposto 1:
\bigl|f(x)-1\bigr| =\bigl|x^2-2x+2-1\bigr| =\bigl|x^2-2x+1\bigr| =\bigl|(x-1)^2\bigr| =|x-1|^2.

Passo 3

Queremos fazer
|x-1|^2<\varepsilon.
Note que, se garantirmos |x-1|<1, então |x-1|^2<|x-1|. Logo basta assegurar simultaneamente
|x-1|<1 \quad\text{e}\quad |x-1|<\varepsilon,
pois daí
|x-1|^2<|x-1|<\varepsilon.

Passo 4

Escolhemos
\delta = \min\{1,\varepsilon\}.
Então, sempre que 0<|x-1|<\delta, temos |x-1|<1 e |x-1|<\varepsilon, e portanto
\bigl|f(x)-1\bigr|=|x-1|^2<|x-1|<\varepsilon.
Isso mostra que, para todo \varepsilon>0, existe \delta>0 satisfazendo a definição de limite.

Resposta

Concluímos que
\lim_{x\to1}\bigl(x^2-2x+2\bigr)=1.

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