Em cada um dos Problemas de 21 a 24, determine a ordem da equação diferencial e diga se ela é linear ou não linear. Derivadas parciais são denotadas por índices.
u_{\mathrm{sux}}+2 u_{\mathrm{sxy}}+u_{\mathrm{vyy}}=0

Passo 1

O enunciado dá a equação diferencial parcial
u_{\mathrm{sux}}+2\,u_{\mathrm{sxy}}+u_{\mathrm{vyy}}=0
em que os subscritos indicam derivadas parciais sucessivas. Precisamos achar a ordem da equação (isto é, a maior quantidade de derivadas parciais tomadas em sequência) e verificar se ela é linear ou não.

Passo 2

Contamos quantos índices aparecem em cada termo:
  • u_{\mathrm{sux}} tem três índices s,u,x → terceira derivada parcial.
  • u_{\mathrm{sxy}} tem três índices s,x,y → terceira derivada parcial.
  • u_{\mathrm{vyy}} tem três índices v,y,y → terceira derivada parcial.
    Logo, a ordem da equação é a maior dessas, ou seja, é de ordem 3.

Passo 3

Para verificar a linearidade, observamos que cada termo é uma derivada parcial de u multiplicada somente por constantes 1 ou 2, sem produtos entre derivadas de u nem funções não lineares de u. Portanto, a equação é linear.

Resposta

A equação é de terceira ordem e é linear.

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