Calcule os limites:
\lim _{x \rightarrow \infty} \frac{2 x-x^{3}+2 x^{4}}{x^{2}+x+2}

Passo 1

O enunciado pede
\lim_{x \to \infty} \frac{2x - x^3 + 2x^4}{x^2 + x + 2}
Esse é um limite de função racional no infinito. Para resolver, vamos comparar os graus dos polinômios e, em seguida, dividir numerador e denominador pela maior potência de x presente no denominador.

Passo 2

O grau do numerador é 4 e o do denominador é 2. Para ver o comportamento quando x\to\infty, dividimos ambos por x^2:
\frac{2x - x^3 + 2x^4}{x^2 + x + 2} = \frac{\frac{2x}{x^2} - \frac{x^3}{x^2} + \frac{2x^4}{x^2}}{\frac{x^2}{x^2} + \frac{x}{x^2} + \frac{2}{x^2}}

Passo 3

Simplificando cada termo, fica
\frac{2/x \;-\; x \;+\; 2x^2}{1 \;+\; 1/x \;+\; 2/x^2}.
Quando x\to\infty, os termos 2/x, 1/x e 2/x^2 tendem a zero. Então o numerador comporta-se como 2x^2 e o denominador tende a 1.

Passo 4

Como o termo dominante no numerador é 2x^2 (que vai a +\infty) e o denominador vai a 1, o quociente cresce sem limite. Logo
\lim_{x \to \infty} \frac{2x - x^3 + 2x^4}{x^2 + x + 2} = +\infty.

Resposta

+\infty

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