y^{\prime}+\frac{1}{4} y=3+2 \cos 2 t, \quad y(0)=0

Passo 1

O enunciado pede para resolver a equação diferencial linear de primeira ordem
y' + \tfrac{1}{4}y = 3 + 2\cos(2t), \quad y(0)=0,
ou seja, conteúdo de fator integrante para ODEs lineares. Vamos calcular um fator integrante, multiplicar a equação por ele, integrar ambos os lados e aplicar a condição inicial.

Passo 2

O fator integrante é
\mu(t)=\exp\Bigl(\int \tfrac{1}{4}\,dt\Bigr)=e^{t/4}.
Multiplicando a equação original por \mu(t) obtemos
e^{t/4}y' + \tfrac{1}{4}e^{t/4}y = e^{t/4}\bigl(3+2\cos(2t)\bigr),
que reconhece o lado esquerdo como derivada de
\frac{d}{dt}\bigl(e^{t/4}y\bigr).

Passo 3

Integramos ambos os lados em t:
e^{t/4}y = \int e^{t/4}\bigl(3+2\cos(2t)\bigr)\,dt + C = \int 3e^{t/4}\,dt + 2\int e^{t/4}\cos(2t)\,dt + C.

Passo 4

Primeiro,
\int 3e^{t/4}\,dt = 3\cdot 4\,e^{t/4} =12\,e^{t/4}.
Para a segunda integral usamos a fórmula
\int e^{at}\cos(bt)\,dt = \frac{e^{at}}{a^2+b^2}\bigl(a\cos(bt)+b\sin(bt)\bigr).
Aqui a=\tfrac14 e b=2, logo
\int e^{t/4}\cos(2t)\,dt = \frac{e^{t/4}}{\frac1{16}+4}\Bigl(\frac14\cos(2t)+2\sin(2t)\Bigr) = \frac{e^{t/4}}{65}\bigl(4\cos(2t)+32\sin(2t)\bigr).
Multiplicando por 2 dá
2\int e^{t/4}\cos(2t)\,dt = \frac{e^{t/4}}{65}\bigl(8\cos(2t)+64\sin(2t)\bigr).

Passo 5

Juntando tudo,
e^{t/4}y =12\,e^{t/4} + \frac{e^{t/4}}{65}\bigl(8\cos(2t)+64\sin(2t)\bigr) + C.
Dividindo por e^{t/4} segue a solução geral
y(t) =12 + \frac{8\cos(2t)+64\sin(2t)}{65} + C\,e^{-t/4}.

Passo 6

Impondo a condição inicial y(0)=0, temos \cos0=1, \sin0=0, então
0 = 12 + \frac{8}{65} + C \quad\Longrightarrow\quad C = -12 - \frac{8}{65} = -\frac{788}{65}.

Resposta

y(t) =12 + \frac{8}{65}\cos(2t) + \frac{64}{65}\sin(2t) -\frac{788}{65}\,e^{-t/4}.

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