Um bulbo de vidro ( \beta=2,2 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ) está completamente cheio com 176,2 \mathrm{~mL} de mercúrio ( \beta=18 \times 10^{-5}{ }^{\circ} \mathrm{C}^{-1} ) a 0^{\circ} \mathrm{C}. O bulbo é provido de um tubo vertical em sua extremidade superior, que permite que o mercúrio seja retirado. Este tubo é de vidro e tem diâmetro interno de 2,5 \mathrm{~mm} a 0^{\circ} \mathrm{C}. Que altura o mercúrio atinge no tubo, se a temperatura do sistema é elevada para 50^{\circ} \mathrm{C} ? Pode-se desprezar a variação no diâmetro do tubo de vidro. Porque?

Passo 1

Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
  • Volume inicial de mercúrio (a 0^\circ\mathrm{C}): V_0 = 176{,}2\\ \mathrm{mL}. (Lembrando que 1\\ \mathrm{mL}=1\\ \mathrm{cm}^3, então V_0=176{,}2\\ \mathrm{cm}^3.)
  • Coeficiente de expansão volumétrica do vidro: \beta_{\text{vidro}} = 2{,}2\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Coeficiente de expansão volumétrica do mercúrio: \beta_{\text{Hg}} = 18\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
  • Temperatura sobe de 0^\circ\mathrm{C} para 50^\circ\mathrm{C}, então a variação de temperatura é \Delta T = 50^\circ\mathrm{C}.
  • Diâmetro interno do tubo de vidro (a 0^\circ\mathrm{C}): d = 2{,}5\\ \mathrm{mm}. (Vou precisar disso para achar a área da seção transversal do tubo.)
  • O bulbo mais o tubo estavam completamente cheios a 0^\circ\mathrm{C}; ao aquecer, o mercúrio expande mais que o vidro, então parte do mercúrio sobe pelo tubo. O que o exercício pergunta:
    1. Qual a altura h que o mercúrio atinge no tubo quando a temperatura chega a 50^\circ\mathrm{C}?
    2. Pode-se desprezar a variação no diâmetro do tubo de vidro? Por quê?

Passo 2

Qual é a ideia física e a fórmula que vamos usar?
  • Quando a temperatura aumenta, o mercúrio aumenta seu volume. A variação de volume para um líquido (ou corpo em geral) pode ser aproximada por
\Delta V = \beta\, V_0\, \Delta T,
onde \Delta V é a variação de volume, \beta é o coeficiente volumétrico de expansão (unidade ^\circ\mathrm{C}^{-1}), V_0 é o volume inicial (na temperatura de referência) e \Delta T é a variação de temperatura.
  • Aqui teremos duas variações:
    • aumento do volume do mercúrio: \Delta V_{\text{Hg}} = \beta_{\text{Hg}}\,V_0\,\Delta T,
    • aumento do volume interno do bulbo (capacidade do recipiente) devido à expansão do vidro: \Delta V_{\text{vidro}} = \beta_{\text{vidro}}\,V_0\,\Delta T.
  • O volume extra de mercúrio que sobe pelo tubo é a diferença
\Delta V_{\text{extra}} = \Delta V_{\text{Hg}} - \Delta V_{\text{vidro}}.
  • Esse volume extra ocupa a coluna do tubo, cuja área da seção reta é A. A altura h que o mercúrio sobe satisfaz
\Delta V_{\text{extra}} = A\,h \quad\Rightarrow\quad h = \frac{\Delta V_{\text{extra}}}{A}.
  • Vou explicar cada símbolo quando usar.

Passo 3

Calcular \Delta V_{\text{Hg}} (variação de volume do mercúrio).
  • Aplicando a fórmula \Delta V = \beta V_0 \Delta T para o mercúrio:
\Delta V_{\text{Hg}} = \beta_{\text{Hg}}\,V_0\,\Delta T.
  • Substituindo os valores ( V_0=176{,}2\\ \mathrm{cm}^3, \beta_{\text{Hg}}=18\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}, \Delta T=50^\circ\mathrm{C}):
\Delta V_{\text{Hg}} = \left(18\times 10^{-5}\right)\cdot 176{,}2 \cdot 50.
  • Calcule passo a passo: \left(18\times 10^{-5}\right)\cdot 50 = 900\times 10^{-5} = 9{,}0\times 10^{-3}.
  • Então
\Delta V_{\text{Hg}} = 176{,}2 \times 0{,}009 = 1{,}5858\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 4

Calcular \Delta V_{\text{vidro}} (variação do volume interno do bulbo devido ao vidro).
  • Pela mesma fórmula:
\Delta V_{\text{vidro}} = \beta_{\text{vidro}}\,V_0\,\Delta T.
  • Substituindo ( \beta_{\text{vidro}}=2{,}2\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}):
\Delta V_{\text{vidro}} = \left(2{,}2\times 10^{-5}\right)\cdot 176{,}2 \cdot 50.
  • Calcule: \left(2{,}2\times 10^{-5}\right)\cdot 50 = 110\times 10^{-5} = 1{,}1\times 10^{-3}.
  • Então
\Delta V_{\text{vidro}} = 176{,}2 \times 0{,}0011 = 0{,}19382\\ \mathrm{cm}^3.

Passo 5

Achar o volume extra que sobe pelo tubo: \Delta V_{\text{extra}} = \Delta V_{\text{Hg}} - \Delta V_{\text{vidro}}.
  • Substituindo os números obtidos:
\Delta V_{\text{extra}} = 1{,}5858 - 0{,}19382 = 1{,}39198\\ \mathrm{cm}^3.
  • Podemos arredondar quando for conveniente, mas guardarei precisão para o cálculo da altura.

Passo 6

Calcular a área da seção transversal A do tubo a 0^\circ\mathrm{C}.
  • O diâmetro dado é d=2{,}5\\ \mathrm{mm}. Convertemos para centímetros ( 1\\ \mathrm{mm}=0{,}1\\ \mathrm{cm}):
d = 2{,}5\\ \mathrm{mm} = 0{,}25\\ \mathrm{cm}.
  • O raio é r=\dfrac{d}{2}=0{,}125\\ \mathrm{cm}.
  • Área circular:
A = \pi r^2 = \pi (0{,}125)^2 = \pi \times 0{,}015625.
  • Numericamente (usando \pi\approx 3{,}1416):
A \approx 3{,}1416 \times 0{,}015625 = 0{,}049087\\ \mathrm{cm}^2.

Passo 7

Calcular a altura h da coluna de mercúrio no tubo usando h=\dfrac{\Delta V_{\text{extra}}}{A}.
  • Substituindo:
h = \frac{1{,}39198}{0{,}049087}\\ \mathrm{cm}.
  • Fazendo a divisão:
h \approx 28{,}35\\ \mathrm{cm}.
  • Em metros, isso é h \approx 0{,}2835\\ \mathrm{m}.

Passo 8

Explicação didática sobre por que podemos desprezar a variação no diâmetro do tubo de vidro.
  • Dois pontos para esclarecer:
    1. Ao usar \Delta V_{\text{vidro}}=\beta_{\text{vidro}}V_0\Delta T já estamos levando em conta a expansão volumétrica do recipiente (bulbo + tubo) — isto é, a capacidade interna aumentou naquela quantidade. Assim a parte do efeito do vidro que reduz o volume de mercúrio “sobressalente” já foi considerada.
    2. A variação do diâmetro do tubo, isoladamente, altera a área da seção do tubo. Essa variação relativa de área pode ser estimada com coeficientes lineares: se \alpha é o coeficiente de expansão linear do vidro, a área varia aproximadamente por um fator 1+2\alpha\Delta T. Como \beta_{\text{vidro}}\approx 3\alpha, temos \alpha\approx \beta_{\text{vidro}}/3.
  • Calculemos essa variação relativa aproximada:
    • \alpha \approx \dfrac{2{,}2\times 10^{-5}}{3} \approx 0{,}733\times 10^{-5}\\ ^\circ\mathrm{C}^{-1}.
    • Variação relativa da área: 2\alpha\Delta T \approx 2\cdot 0{,}733\times 10^{-5}\cdot 50 \approx 7{,}33\times 10^{-4}.
    • Em porcentagem, isso é cerca de 0{,}073\%.
  • Conclusão: essa mudança na área do tubo é muito pequena — menos de uma décima de milésima relativa — logo a correção que ela provocaria na altura h seria desprezível (uma variação da ordem de 0{,}02\\ \mathrm{mm} sobre 283{,}5\\ \mathrm{mm}, por exemplo). Assim, para a precisão prática pedida pelo problema, podemos desprezar a variação do diâmetro do tubo. Além disso, a maior parte do efeito do vidro já foi incluída ao usar \beta_{\text{vidro}} para o volume interno.

Resposta

h \approx 28{,}35\\ \mathrm{cm} (ou 0{,}2835\\ \mathrm{m}).
Sim, pode-se desprezar a variação do diâmetro do tubo, porque a mudança relativa da área é da ordem de 2\alpha\Delta T\approx 7{,}33\times 10^{-4} (≈ 0{,}073\%), valor insignificante; além disso a expansão volumétrica do vidro já foi considerada em \Delta V_{\text{vidro}}=\beta_{\text{vidro}}V_0\Delta T.

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