Um bulbo de vidro (
) está completamente cheio com
de mercúrio (
) a
. O bulbo é provido de um tubo vertical em sua extremidade superior, que permite que o mercúrio seja retirado. Este tubo é de vidro e tem diâmetro interno de
a
. Que altura o mercúrio atinge no tubo, se a temperatura do sistema é elevada para
? Pode-se desprezar a variação no diâmetro do tubo de vidro. Porque?
Passo 1
Vamos entender direitinho o que o enunciado dá e o que ele pede.
- Volume inicial de mercúrio (a
): . (Lembrando que , então .) - Coeficiente de expansão volumétrica do vidro:
. - Coeficiente de expansão volumétrica do mercúrio:
. - Temperatura sobe de
para , então a variação de temperatura é . - Diâmetro interno do tubo de vidro (a
): . (Vou precisar disso para achar a área da seção transversal do tubo.) - O bulbo mais o tubo estavam completamente cheios a
; ao aquecer, o mercúrio expande mais que o vidro, então parte do mercúrio sobe pelo tubo. O que o exercício pergunta: - Qual a altura
que o mercúrio atinge no tubo quando a temperatura chega a ? - Pode-se desprezar a variação no diâmetro do tubo de vidro? Por quê?
- Qual a altura
Passo 2
Qual é a ideia física e a fórmula que vamos usar?
- Quando a temperatura aumenta, o mercúrio aumenta seu volume. A variação de volume para um líquido (ou corpo em geral) pode ser aproximada por
onde
é a variação de volume,
é o coeficiente volumétrico de expansão (unidade
),
é o volume inicial (na temperatura de referência) e
é a variação de temperatura.
- Aqui teremos duas variações:
- aumento do volume do mercúrio:
, - aumento do volume interno do bulbo (capacidade do recipiente) devido à expansão do vidro:
.
- aumento do volume do mercúrio:
- O volume extra de mercúrio que sobe pelo tubo é a diferença
- Esse volume extra ocupa a coluna do tubo, cuja área da seção reta é
. A altura que o mercúrio sobe satisfaz
- Vou explicar cada símbolo quando usar.
Passo 3
Calcular
(variação de volume do mercúrio).
- Aplicando a fórmula
para o mercúrio:
- Substituindo os valores (
, , ):
- Calcule passo a passo:
. - Então
Passo 4
Calcular
(variação do volume interno do bulbo devido ao vidro).
- Pela mesma fórmula:
- Substituindo (
):
- Calcule:
. - Então
Passo 5
Achar o volume extra que sobe pelo tubo:
.
- Substituindo os números obtidos:
- Podemos arredondar quando for conveniente, mas guardarei precisão para o cálculo da altura.
Passo 6
Calcular a área da seção transversal
do tubo a
.
- O diâmetro dado é
. Convertemos para centímetros ( ):
- O raio é
. - Área circular:
- Numericamente (usando
):
Passo 7
Calcular a altura
da coluna de mercúrio no tubo usando
.
- Substituindo:
- Fazendo a divisão:
- Em metros, isso é
.
Passo 8
Explicação didática sobre por que podemos desprezar a variação no diâmetro do tubo de vidro.
- Dois pontos para esclarecer:
- Ao usar
já estamos levando em conta a expansão volumétrica do recipiente (bulbo + tubo) — isto é, a capacidade interna aumentou naquela quantidade. Assim a parte do efeito do vidro que reduz o volume de mercúrio “sobressalente” já foi considerada. - A variação do diâmetro do tubo, isoladamente, altera a área da seção do tubo. Essa variação relativa de área pode ser estimada com coeficientes lineares: se
é o coeficiente de expansão linear do vidro, a área varia aproximadamente por um fator . Como , temos .
- Ao usar
- Calculemos essa variação relativa aproximada:
-
. - Variação relativa da área:
. - Em porcentagem, isso é cerca de
.
-
- Conclusão: essa mudança na área do tubo é muito pequena — menos de uma décima de milésima relativa — logo a correção que ela provocaria na altura
seria desprezível (uma variação da ordem de sobre , por exemplo). Assim, para a precisão prática pedida pelo problema, podemos desprezar a variação do diâmetro do tubo. Além disso, a maior parte do efeito do vidro já foi incluída ao usar para o volume interno.
Resposta
Sim, pode-se desprezar a variação do diâmetro do tubo, porque a mudança relativa da área é da ordem de