[2.0 pt ] Mostre que a partícula com função posição
r(t)=cos t raiz1-14 cos ^2 t i+sen t raiz1-14 cos ^2 t j+12 cos t k
move-se sobre uma esfera.

Passo 1

O enunciado dá a função posição
r(t)=cos t raiz1-14cos^2t,i+sin t raiz1-14cos^2t,j+12cos t,k
e pede para mostrar que a partícula se move sobre uma esfera. Isso equivale a verificar que o módulo de r(t) é constante em t.

Passo 2

Recordando que
|r(t)|^2=x(t)^2+y(t)^2+z(t)^2,
vamos identificar
x(t)=cos traiz1-14cos^2t, y(t)=sin traiz1-14cos^2t, z(t)=12cos t
e calcular cada parcela.

Passo 3

Primeiro somamos os quadrados de x(t) e y(t):
x(t)^2+y(t)^2 =l(cos^2t+sin^2tr)l(1-tfrac14cos^2tr) =1-14cos^2t
Em seguida,
z(t)^2 =l(tfrac12cos tr)^2 =14cos^2t

Passo 4

Somando tudo,
|r(t)|^2 =l(x(t)^2+y(t)^2r)+z(t)^2 =l(1-tfrac14cos^2tr)+14cos^2t =1
Logo |r(t)|=1 para todo t, o que mostra que a trajetória fica na esfera de raio 1 centrada na origem.

Resposta

A partícula move-se sobre a esfera de raio 1 centrada na origem.

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