Calcule integral duplaS f(x, y, z) d s.
f(x, y, z)=x+y+z, S a superfície do cubo do primeiro octante, delimitado pelos planos coordenados e pelos planos x=1, y=1 e z=1.

Passo 1

O enunciado pede o cálculo da integral de superfície de
f(x,y,z)=x+y+z
sobre a superfície S do cubo no primeiro octante limitada por x=0, y=0, z=0, x=1, y=1 e z=1.
Vamos dividir S nas suas seis faces e somar as contribuições
integral duplaSf,ds =sumfaces integral duplaface f,ds

Passo 2

Face x=0: tem parâmetros (y,z)in[0,1]times[0,1],
f(0,y,z)=y+z, ds=dy,dz
Então
I1=integral0^1!!integral0^1(y+z),dz,dy =integral0^1l[y,z+tfracz^22r]z=0^1dy =integral0^1l(y+tfrac12r)dy =tfrac12+tfrac12=1

Passo 3

Face x=1: (y,z)in[0,1]^2,
f(1,y,z)=1+y+z, ds=dy,dz
Calculamos
I2=integral0^1!!integral0^1(1+y+z),dz,dy =integral0^1l[(1+y)z+tfracz^22r]0^1dy =integral0^1l(1+y+tfrac12r)dy =tfrac32+tfrac12=2

Passo 4

Face y=0: (x,z)in[0,1]^2,
f(x,0,z)=x+z, ds=dx,dz
Por simetria com I1,
I3=integral0^1!!integral0^1(x+z),dx,dz=1

Passo 5

Face y=1: (x,z)in[0,1]^2,
f(x,1,z)=x+1+z, ds=dx,dz,
igual a I2 por simetria,
I4=2

Passo 6

Face z=0: (x,y)in[0,1]^2,
f(x,y,0)=x+y, ds=dx,dy,
por simetria com I1,
I5=1
Face z=1: (x,y)in[0,1]^2,
f(x,y,1)=x+y+1, ds=dx,dy,
igual a I2,
I6=2

Passo 7

Somando todas as faces:
integral duplaSf,ds =I1+I2+I3+I4+I5+I6 =1+2+1+2+1+2=9

Resposta

integral duplaSf(x,y,z),ds = 9

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