Prove:
  1. a) lim X P F(X)=0 Leftrightarrow lim X P|F(X)|=0. (0 é o vetor nulo de R^m.)
    b) lim X P F(X)=L Leftrightarrow lim X P|F(X)-L|=0.
    c) lim H 0 F(P+H)=L Leftrightarrow lim X P F(X)=L.

Passo 1

O enunciado pede para provar três equivalências de limites para uma função vetorial
Fcolon DsubseteqR^ntoR^m
nos pontos Pin D ou Hto0. Vamos usar a definição de limite em R^m via norma euclidiana:
limXto PF(X)=L Long<=ftrightarrow forallepsilon>0;existsde<a>0:;0<|X-P|<de<aimplies|F(X)-L|<epsilon

Passo 2

Prova de (b), direção “ Rightarrow”.
Suponha limXto PF(X)=L. Pela definição, existe de<a>0 tal que sempre que 0<|X-P|<de<a temos
|F(X)-L|<epsilon
Mas isso diz exatamente que a função real Xmapsto |F(X)-L| satisfaz a condição de limite nulo, ou seja
limXto P|F(X)-L|=0

Passo 3

Prova de (b), direção “ Leftarrow”.
Suponha limXto P|F(X)-L|=0. Então, para dado epsilon>0 existe de<a>0 tal que
0<|X-P|<de<a Longrightarrow |F(X)-L|<epsilon
Mas essa é a própria definição de limXto PF(X)=L. Logo provamos
limXto PF(X)=L Long<=ftrightarrow limXto P|F(X)-L|=0

Passo 4

Prova de (a).
Basta tomar L=0 na equivalência de (b). Fica
limXto PF(X)=0 Long<=ftrightarrow limXto P|F(X)-0|=0,
isto é
limXto PF(X)=0 Long<=ftrightarrow limXto P|F(X)|=0

Passo 5

Prova de (c).
Defina G(H)=F(P+H). Então
limHto 0F(P+H)=L Long<=ftrightarrow limHto 0G(H)=L
Mas a condição “ Hto0” é equivalente a “ X=P+Hto P”. Portanto
limHto 0F(P+H)=L Long<=ftrightarrow limXto PF(X)=L

Resposta

As três equivalências foram demonstradas diretamente a partir da definição de limite em R^m e das propriedades da norma euclidiana.

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