Prove:
- a)
.
é o vetor nulo de
.)
b)
.
c)
.
b)
c)
Passo 1
O enunciado pede para provar três equivalências de limites para uma função vetorial
nos pontos
ou
. Vamos usar a definição de limite em
via norma euclidiana:
Passo 2
Prova de (b), direção “
”.
Suponha . Pela definição, existe
tal que sempre que
temos
Suponha
Mas isso diz exatamente que a função real
satisfaz a condição de limite nulo, ou seja
Passo 3
Prova de (b), direção “
”.
Suponha . Então, para dado
existe
tal que
Suponha
Mas essa é a própria definição de
. Logo provamos
Passo 4
Prova de (a).
Basta tomar na equivalência de (b). Fica
Basta tomar
isto é
Passo 5
Prova de (c).
Defina . Então
Defina
Mas a condição “
” é equivalente a “
”. Portanto
Resposta
As três equivalências foram demonstradas diretamente a partir da definição de limite em
e das propriedades da norma euclidiana.