[2] Uma partícula move-se sobre uma reta de forma que, após \mathbf{t} segundos ela está s(t)=2 t^{2}+3 t metros de sua posição inicial. Determine:
(a) a posição dessa partícula após 2 segundos;
(b) a posição dessa partícula após 3 segundos;
(c) a velocidade média da partícula no intervalo de tempo [2, 3] sabendo-se que a velocidade é a razão entre distância e tempo, ou seja, \mathrm{v}=\frac{\Delta \mathrm{s}}{\Delta \mathrm{t}};
(d) a velocidade instantânea \mathrm{em} \mathrm{t}=2.

Passo 1

Nesse problema a gente tem a lei do movimento
s(t)=2t^2+3t
que dá a posição (em metros) em função do tempo t (em segundos). Precisamos de:
(a) s(2);
(b) s(3);
(c) velocidade média no intervalo [2,3], dada por \Delta s/\Delta t;
(d) velocidade instantânea em t=2, que é v(t)=s'(t) avaliada em t=2.

Passo 2

Para achar a posição em t=2 e em t=3 basta substituir na fórmula:
\begin{aligned} s(2)&=2\cdot(2)^2+3\cdot2=2\cdot4+6=14,\\\ s(3)&=2\cdot(3)^2+3\cdot3=2\cdot9+9=27. \end{aligned}

Passo 3

A velocidade média no intervalo de t=2 a t=3 é
\nu_{\text{média}} =\frac{s(3)-s(2)}{3-2} =\frac{27-14}{1} =13 \quad\text{(m/s)}.é

Passo 4

A velocidade instantânea é a derivada de s(t):
v(t)=s'(t)=\frac{d}{dt}(2t^2+3t)=4t+3.
Logo, em t=2:
v(2)=4\cdot2+3=11 \quad\text{(m/s)}.

Resposta

(a) 14 metros.
(b) 27 metros.
(c) 13 metros por segundo.
(d) 11 metros por segundo.

Exercícios relacionados