(2°) O percentual de impurezas, por lote de um produto químico é uma variável aleatória, com função densidade de probabilidade dada por: f(x)=12 x^2(1-x), 0 <= x <= 1.
b) Calcule o valor esperado de X .

Passo 1

Beleza, resumindo o que o enunciado pede: temos uma variável aleatória contínua X (percentual de impurezas) com densidade
f(x)=12,x^2(1-x), 0<= x<=1
O que vamos usar aqui é a definição de valor esperado (E[X]) de uma v.a. contínua, que é
E[X]=integral-infty^infty x,f(x),dx
No nosso caso a integral vai de 0 a 1. Para resolver isso, precisaremos saber integrar polinômios (encontrar primitivas) e aplicar o Teorema Fundamental do Cálculo.

Passo 2

Pela definição, escrevemos
E[X]=integral0^1 x,f(x),dx
Substituindo E[X]=integral0^1 xcdotl(12,x^2(1-x)r),dx =integral0^1 12l(x^3 - x^4r),dx:
$$E[X]=\int_0^1 x\cdot\bigl(12,x^2(1-x)\bigr),dx
=\int_0^1 12\bigl(x^3 - x^4\bigr),dx.E[X]=12\int_0^1 x^3,dx ;-;12\int_0^1 x^4,dx.$$

Passo 3

Agora achamos as primitivas de cada termo:
  • Para integral0^1 x^3,dx = x^44|0^1 = 1^44-0 = 14,, a primitiva é integral0^1 x^4,dx = x^55|0^1 = 1^55-0 = 15.
  • Para , a primitiva é .
    Então:

Passo 4

Substituindo de volta em E[X]=12l(tfrac14 - tfrac15r) =12l(tfrac5-420r) =12cdottfrac120 =tfrac1220 =tfrac35 =0,6:

Resposta

E[X]=35=0,6$

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