[2,5 ponto]Considere a reta L:\left\{\begin{array}{l}x-y+2 z-1=0 \\\ x-z+2=0\end{array}\right. e o plano \pi: m x-2 m y+5 z-1=0
(a) Determine a equação vetorial da reta L.
P=P_{0}+t, \vec{v}, t \in \mathbb{R}
(b) Determine o valor de m de forma que a reta L seja paralela an plano \pi.
(c) Calcule a distância do ponto Q=(2,0,-1) ao plano \pi.

Passo 1

O enunciado dá uma reta L\) definida pela interseção de dois planos \[\begin{cases} x - y + 2z - 1 = 0,\\\ x - z + 2 = 0, \end{cases}
e um plano \pi\] cuja equação é \[m\,x - 2m\,y + 5\,z - 1 = 0.\] Precisamos (a) escrever a forma vetorial de \(L, (b) achar o valor de m para o qual L é paralela a \pi e (c) calcular a distância do ponto Q=(2,0,-1) ao plano \pi. Usaremos álgebra para resolver o sistema, produto escalar para a condição de paralelismo e a fórmula da distância ponto–plano.

Passo 2

Para achar a forma vetorial de L\), resolvemos \[\begin{cases} x - y + 2z - 1 = 0,\\\ x - z + 2 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem x = z - 2\]. Substituindo na primeira: \[(z - 2) - y + 2z - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -y + 3z - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 3z - 3.\] Tomando \(t = z como parâmetro, obtemos
x = t - 2,\quad y = 3t - 3,\quad z = t,
ou seja, a equação vetorial
\mathbf{r}(t) = \begin{pmatrix}-2\\\ -3\\\ 0\end{pmatrix} + t\begin{pmatrix}1\\\ 3\\\ 1\end{pmatrix},\quad t\in\mathbb{R}.

Passo 3

O vetor diretor de L é \mathbf{v}=(1,3,1) e o vetor normal de \pi é \mathbf{n}=(m,-2m,5). A reta é paralela ao plano se e somente se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0:
(1,3,1)\cdot(m,-2m,5)=m -6m +5 = -5m +5 = 0 \quad\Longrightarrow\quad m = 1.

Passo 4

Para calcular a distância de Q=(2,0,-1) ao plano \pi usamos m=1, logo \pi fica
x - 2y + 5z - 1 = 0.
A fórmula da distância é
d = \frac{\bigl|A x_0 + B y_0 + C z_0 + D\bigr|}{\sqrt{A^2 + B^2 + C^2}},
com (A,B,C,D)=(1,-2,5,-1) e (x_0,y_0,z_0)=(2,0,-1). Calculamos
|1\cdot 2 + (-2)\cdot 0 + 5\cdot(-1) -1| = |2 -5 -1| = 4,
\sqrt{1^2 + (-2)^2 + 5^2} = \sqrt{1 + 4 + 25} = \sqrt{30},
então
d = \frac{4}{\sqrt{30}}.

Resposta

(a) \mathbf{r}(t) = \bigl(-2,-3,0\bigr) + t\,(1,3,1),\;t\in\mathbb{R}.
(b) m = 1.
(c) d = \displaystyle\frac{4}{\sqrt{30}}.

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