[2,5 ponto]Considere a reta L:\left\{\begin{array}{l}x-y+2 z-1=0 \\\ x-z+2=0\end{array}\right. e o plano \pi: m x-2 m y+5 z-1=0
(a) Determine a equação vetorial da reta L. P=P_{0}+t, \vec{v}, t \in \mathbb{R}
(b) Determine o valor de m de forma que a reta L seja paralela an plano \pi.
(c) Calcule a distância do ponto Q=(2,0,-1) ao plano \pi.
Passo 1
O enunciado dá uma reta L\) definida pela interseção de dois planos
\[\begin{cases} x - y + 2z - 1 = 0,\\\ x - z + 2 = 0, \end{cases}
e um plano \pi\] cuja equação é
\[m\,x - 2m\,y + 5\,z - 1 = 0.\]
Precisamos (a) escrever a forma vetorial de \(L, (b) achar o valor de m para o qual L é paralela a \pi e (c) calcular a distância do ponto Q=(2,0,-1) ao plano \pi. Usaremos álgebra para resolver o sistema, produto escalar para a condição de paralelismo e a fórmula da distância ponto–plano.
Passo 2
Para achar a forma vetorial de L\), resolvemos
\[\begin{cases} x - y + 2z - 1 = 0,\\\ x - z + 2 = 0. \end{cases}
Da segunda equação vem x = z - 2\]. Substituindo na primeira:
\[(z - 2) - y + 2z - 1 = 0 \quad\Longrightarrow\quad -y + 3z - 3 = 0 \quad\Longrightarrow\quad y = 3z - 3.\]
Tomando \(t = z como parâmetro, obtemos
O vetor diretor de L é \mathbf{v}=(1,3,1) e o vetor normal de \pi é \mathbf{n}=(m,-2m,5). A reta é paralela ao plano se e somente se \mathbf{v}\cdot\mathbf{n}=0: