Considere os vetores V=(1, a, 0) e W=(-4,0,3).
(3 pontos) Encontre os possíveis valores de a \in \mathbb{R} tais que \cos \theta=-\frac{1}{5}, sendo \theta o ângulo entre V e W.

Passo 1

O enunciado dá os vetores V=(1,a,0) e W=(-4,0,3) e pede os valores de a\in\mathbb{R} tais que \cos\theta=-\tfrac{1}{5}, onde \theta é o ângulo entre V e W. O conteúdo é produto escalar e normas de vetores.

Passo 2

Para vetores em \mathbb{R}^3, usamos a fórmula
\cos\theta = \frac{V \cdot W}{\|V\| \,\|W\|}.

Passo 3

Calculemos o produto escalar:
V \cdot W = 1\cdot(-4) + a\cdot0 + 0\cdot3 = -4.

Passo 4

Agora as normas:
\|V\| = \sqrt{1 + a^2}
\|W\| = \sqrt{(-4)^2 + 0^2 + 3^2} = \sqrt{16 + 9} = 5
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\|V\|\,\|W\| = 5\,\sqrt{1 + a^2}.

Passo 5

Substituindo na fórmula de \cos\theta,
\frac{-4}{5\sqrt{1 + a^2}} = -\frac{1}{5}.
Multiplicando ambos os lados por 5\sqrt{1 + a^2} e simplificando:
-4 = -\frac{1}{5}\,5\sqrt{1 + a^2} \quad\Longrightarrow\quad 4 = \sqrt{1 + a^2} \quad\Longrightarrow\quad 1 + a^2 = 16 \quad\Longrightarrow\quad a^2 = 15
Portanto a = \pm\sqrt{15}.

Resposta

Os valores de a são \pm\sqrt{15}.

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