Considere os vetores U=(3,1,2) e W=(2,-1,-2).
(a) (2 pontos) Os vetores U e W são ortogonais? Justifique sua resposta.
(b) (4 pontos) Encontre o vetor V=(x, y, z) tal que V é paralelo a W, com sentido oposto ao de W e com norma \|V\|=18

Passo 1

O enunciado dá os vetores \,U=(3,1,2) e \,W=(2,-1,-2).
(a) Queremos saber se U e W são ortogonais, ou seja, se o produto escalar U\cdot W é zero.
(b) Queremos achar um vetor V=(x,y,z) paralelo a W, com sentido oposto a W, e tal que \|V\|=18. Para isso vamos usar a definição de vetor paralelo (escalares) e a relação da norma.

Passo 2

Duas condições equivalentes para vetores U e W serem ortogonais é
U\cdot W=0.
Calculando o produto escalar:
U\cdot W = 3\cdot2 + 1\cdot(-1) + 2\cdot(-2) = 6 - 1 - 4 = 1.
Como U\cdot W = 1 \neq 0, concluímos que U e W não são ortogonais.

Passo 3

Para achar V paralelo a W e com sentido oposto, escrevemos
V = \lambda\,W,
com \lambda<0.

Passo 4

A norma de V satisfaz
\|V\| = |\lambda|\,\|W\| = 18.
Primeiro calculamos
\|W\| = \sqrt{2^2 + (-1)^2 + (-2)^2} = \sqrt{4 + 1 + 4} = 3.

Passo 5

Da igualdade |\lambda|\cdot3 = 18 segue |\lambda| = 6. Como queremos \lambda<0, tomamos \lambda = -6.
Logo
V = -6\,W = -6\,(2,-1,-2) = (-12,\,6,\,12).

Resposta

(a) U e W não são ortogonais, pois U\cdot W = 1 \neq 0.
(b) V = (-12,\,6,\,12).

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