\left[2,5\right. pontos] Considere as retas L_{1}: x+3=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{3} e L_{2}:\left\{\begin{array}{l}x=t \\\ y=2-t, t \in \mathrm{R} \\\ z=6+t\end{array}\right.
(a) Estude a posição relativa das retas L_{1} c L_{2}.
(b) Determine (se existir) a equação geral do plano \pi que contém as retas L_{1} e L_{2}.
(c) A reta L_{3}: P=(0,0,0)+r(-1,1,-1), r \in \mathbf{R} está contida no plano \pi ? Justifique.

Passo 1

O enunciado trabalha com posições relativas de retas em \mathbb{R}^3, equação de plano e teste de inclusão de reta em plano. Vamos precisar:
– extrair vetores diretores de L_{1} e L_{2} para ver se são paralelas ou se se cruzam;
– calcular a normal do plano contendo L_{1} e L_{2} via produto vetorial;
– montar a equação geral do plano e verificar se L_{3} está nele.

Passo 2

Extraímos as direções and testamos interseção:
Da reta
L_{1}:\;x+3=\frac{y-2}{2}=\frac{z-1}{3}
temos, ao tomar parâmetro \lambda,
x=-3+\lambda,\quad y=2+2\lambda,\quad z=1+3\lambda
logo
\vec v_{1}=(1,2,3).
Da reta
L_{2}:\;x=t,\;y=2-t,\;z=6+t
temos
\vec v_{2}=(1,-1,1).
Como \vec v_{1} não é múltiplo escalar de \vec v_{2}, as retas não são paralelas. Para ver se se cruzam, igualamos coordenadas:
-3+\lambda = t,\quad 2+2\lambda = 2-t,\quad 1+3\lambda = 6+t.
Das duas primeiras equações vem t=-3+\lambda e
2+2\lambda = 2-(-3+\lambda)\;\Rightarrow\;3\lambda=3\;\Rightarrow\;\lambda=1,\;t=-2.
Na terceira,
1+3\cdot1 = 4,\quad 6+(-2)=4,
confirma interseção em P=(-2,4,4). Logo L_{1} e L_{2} se intersectam.

Passo 3

O plano \pi que contém L_{1} e L_{2} tem normal
\vec n = \vec v_{1}\times \vec v_{2} = \begin{vmatrix} \mathbf i & \mathbf j & \mathbf k \\\\ 1 & 2 & 3 \\\\ 1 & -1 & 1 \end{vmatrix} = (5,2,-3).
Usando o ponto de interseção P_{0}=(-2,4,4), a equação geral é
5\,(x+2)+2\,(y-4)-3\,(z-4)=0
que se expande para
5x +2y -3z +14 = 0.

Passo 4

Para ver se L_{3}: (0,0,0)+r(-1,1,-1) está em \pi, checamos:
  1. \vec v_{3}=(-1,1,-1) satisfaz \vec n\cdot\vec v_{3}=5\cdot(-1)+2\cdot1+(-3)\cdot(-1)=0, logo L_{3} é paralela ao plano.
  2. O ponto (0,0,0) não satisfaz 5x+2y-3z+14=0 pois 14\neq0.
Portanto L_{3} é paralela a \pi mas não está contida nela.

Resposta

(a) As retas não são paralelas e intersectam-se no ponto (-2,4,4).
(b) A equação geral do plano é
5x +2y -3z +14 = 0.
(c) A reta L_{3} é paralela ao plano \pi (diretor ortogonal ao normal) mas não o contém, pois seu ponto (0,0,0) não satisfaz a equação do plano.

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