[2,5 pontos] 01. Suponha um átomo de Rutherford cujo núcleo tem carga +Z e. Seja um elétron de massa m_{e} \mathrm{e} carga - e dando voltas ao redor do núcleo em uma órbita circular de raio r.
(a) Usando princípios básicos de física clássica, determine expressões para a velocidade v do elétron, a energia total E do elétron e a frequência f de revolução do elétron ao redor do núcleo. Comparando as três equações encontradas ( v, E e f ), qual é o problema com esse modelo? Cite duas inconsistências.
(b) Explique como Niels Bohr resolveu esse problema, citando os três postulados dele.

Passo 1

O enunciado considera um átomo de Rutherford com núcleo de carga +Z\,e e um elétron de massa m_{e} e carga -e descrevendo uma órbita circular de raio r. Na parte (a) vamos usar Física clássica (lei de Coulomb e segunda lei de Newton) para obter expressões para a velocidade v, a energia total E e a frequência de revolução f, e então discutir as incoerências desse modelo. Na parte (b) citamos como Bohr resolveu isso com seus três postulados.

Passo 2

Equilíbrio entre força centrípeta e força de Coulomb:
\frac{m_{e}\,v^{2}}{r} = \frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Z\,e^{2}}{r^{2}}.
Dessa igualdade segue
v = \sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Z\,e^{2}}{m_{e}\,r}}\,.

Passo 3

Energia cinética e potencial do elétron são
K = \frac{1}{2}m_{e}v^{2} \quad\text{e}\quad U = -\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Z\,e^{2}}{r}\,.
Substituindo v^{2} em K obtém-se
K = \frac{1}{2}\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Z\,e^{2}}{r} \quad\Longrightarrow\quad E = K + U = -\,\frac{1}{2}\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Z\,e^{2}}{r}\,.

Passo 4

A frequência de revolução f é \omega/(2\pi) com \omega = v/r, logo
f = \frac{v}{2\pi\,r} = \frac{1}{2\pi\,r}\,\sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Z\,e^{2}}{m_{e}\,r}}\,.

Passo 5

Comparando as expressões de v, E e f, todas dependem continuamente de r. Isso implica duas grandes inconsistências do modelo clássico:
  1. Se o elétron sofre aceleração centrípeta, ele deveria emitir radiação segundo a eletrodinâmica clássica, perder energia e colapsar no núcleo (átomo instável).
  2. Como f varia continuamente com r, o modelo não explica por que átomos apresentam espectros de linhas discretas em vez de um espectro contínuo.

Passo 6

Niels Bohr resolveu esses problemas com três postulados:
  1. Existem órbitas estacionárias em que o elétron não emite radiação, mesmo acelerado.
  2. O momento angular do elétron é quantizado:
L = m_{e}\,v\,r = n\,\hbar, \quad n = 1,2,3,\dots
  1. A radiação só é emitida ou absorvida quando o elétron faz transição entre duas órbitas estacionárias, com frequência dada por
h\,\nu = E_{i} - E_{f}\,.

Resposta

(a)
v = \sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Z\,e^{2}}{m_{e}\,r}}, \quad E = -\,\frac{1}{2}\,\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Z\,e^{2}}{r}, \quad f = \frac{1}{2\pi\,r}\,\sqrt{\frac{1}{4\pi\varepsilon_{0}}\;\frac{Z\,e^{2}}{m_{e}\,r}}.
Incoerências: átomo instável (elétron deveria irradiar e colapsar) e não há espectro discreto.
(b) Postulados de Bohr:
  1. órbitas estacionárias sem emissão;
  2. quantização de L = n\hbar;
  3. emissão/absorção de fóton com h\nu = E_{i}-E_{f}.

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