Seja \mathcal{C} a curva parametrizada por
\mathbf{r}(t)=\left(2 t^{2}, 3 \sin t-3 t \cos t, 3 \cos t+3 t \sin t\right), \quad t>0
(a) Determine os vetores unitários tangente \mathbf{T}(t) e normal \mathbf{N}(t).
(b) Calcule a curvatura \kappa(t) da curva \mathbf{r}(t).

Passo 1

O enunciado pede para calcular o versor tangente \mathbf{T}(t), o versor normal \mathbf{N}(t) e a curvatura \kappa(t) de uma curva parametrizada. Vamos usar derivadas vetoriais para obter \mathbf{r}'(t), em seguida a norma para \lVert \mathbf{r}'(t)\rVert, definir
\mathbf{T}(t)=\frac{\mathbf{r}'(t)}{\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert},
depois derivar \mathbf{T}(t) para achar \mathbf{N}(t) e, por fim, usar
\kappa(t)=\frac{\lVert \mathbf{T}'(t)\rVert}{\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert}.

Passo 2

Derivamos cada componente de
\mathbf{r}(t)=\bigl(2t^{2},\,3\sin t-3t\cos t,\,3\cos t+3t\sin t\bigr).
Temos
\mathbf{r}'(t)=\bigl(4t,\;3\cos t-3\cos t+3t\sin t,\;-3\sin t+3\sin t+3t\cos t\bigr) =\bigl(4t,\;3t\sin t,\;3t\cos t\bigr).

Passo 3

Calculamos a norma de \mathbf{r}'(t):
\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert =\sqrt{(4t)^{2}+(3t\sin t)^{2}+(3t\cos t)^{2}} =\sqrt{16t^{2}+9t^{2}(\sin^{2}t+\cos^{2}t)} =\sqrt{25t^{2}} =5t.

Passo 4

O versor tangente é
\mathbf{T}(t) =\frac{\mathbf{r}'(t)}{\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert} =\frac{1}{5t}\bigl(4t,\;3t\sin t,\;3t\cos t\bigr) =\Bigl(\tfrac{4}{5},\;\tfrac{3}{5}\sin t,\;\tfrac{3}{5}\cos t\Bigr).

Passo 5

Derivamos \mathbf{T}(t) para obter
\mathbf{T}'(t) =\Bigl(0,\;\tfrac{3}{5}\cos t,\;-\tfrac{3}{5}\sin t\Bigr),
cuja norma é
\lVert \mathbf{T}'(t)\rVert =\frac{3}{5}\sqrt{\cos^{2}t+\sin^{2}t} =\frac{3}{5}.

Passo 6

O versor normal é
\mathbf{N}(t) =\frac{\mathbf{T}'(t)}{\lVert \mathbf{T}'(t)\rVert} =\frac{1}{\tfrac{3}{5}}\Bigl(0,\;\tfrac{3}{5}\cos t,\;-\tfrac{3}{5}\sin t\Bigr) =(0,\;\cos t,\;-\sin t).

Passo 7

Finalmente, a curvatura é
\kappa(t) =\frac{\lVert \mathbf{T}'(t)\rVert}{\lVert \mathbf{r}'(t)\rVert} =\frac{\tfrac{3}{5}}{5t} =\frac{3}{25\,t}.

Resposta

\displaystyle \mathbf{T}(t)=\Bigl(\tfrac{4}{5},\;\tfrac{3}{5}\sin t,\;\tfrac{3}{5}\cos t\Bigr) \displaystyle \mathbf{N}(t)=(0,\;\cos t,\;-\sin t) \displaystyle \kappa(t)=\frac{3}{25\,t}

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