[2,0 pontos] 04. (a) Para o átomo de hidrogênio, determine os três primeiros níveis de energia, E_{1}, E_{2} e E_{3}, e desenhe um diagrama dos níveis de energia encontrados.
(b) Determine todos os possíveis valores de comprimento de onda que o elétron pode emitir considerando esse diagrama.

Passo 1

O enunciado pede, para o átomo de hidrogênio, (a) os três primeiros níveis de energia E_{1},E_{2},E_{3} e um diagrama desses níveis, e (b) todos os comprimentos de onda que o elétron pode emitir fazendo transições entre esses níveis. Vamos usar a fórmula de Bohr para o átomo de hidrogênio e o Rydberg para calcular as energias e os comprimentos de onda.

Passo 2

A fórmula de Bohr para o nível n do átomo de hidrogênio é
E_{n} = -\,\frac{13{,}6\\ \mathrm{eV}}{n^{2}}.
Logo,
E_{1} = -\,\frac{13{,}6}{1^{2}} = -\,13{,}6\\ \mathrm{eV},\quad E_{2} = -\,\frac{13{,}6}{2^{2}} = -\,3{,}40\\ \mathrm{eV},\quad E_{3} = -\,\frac{13{,}6}{3^{2}} = -\,1{,}51\\ \mathrm{eV}.

Passo 3

Diagrama de níveis (energia vertical, mais alto = menos negativo):
Energia (eV)

-1{,}51,─── nível n=3 -3{,}40,─── nível n=2 -13{,}6,─── nível n=1

Passo 4

As transições possíveis entre os três níveis são:
(1) n=3\to n=2, (2) n=3\to n=1, (3) n=2\to n=1.
Para cada transição usamos o Rydberg
\frac{1}{\lambda} = R_{\infty}\Bigl(\frac{1}{n_{f}^{2}}-\frac{1}{n_{i}^{2}}\Bigr),
com R_{\infty}=1{,}097\times10^{7}\\ \mathrm{m}^{-1}.

Passo 5

Calculando cada comprimento de onda:
  1. 3\to2:
\frac{1}{\lambda_{32}} =1{,}097\times10^{7}\Bigl(\tfrac{1}{2^{2}}-\tfrac{1}{3^{2}}\Bigr) =1{,}097\times10^{7}\,\frac{5}{36} \approx1{,}525\times10^{6}\\ \mathrm{m}^{-1},
\lambda_{32}\approx\frac{1}{1{,}525\times10^{6}}=6{,}56\times10^{-7}\\ \mathrm{m} =656{,}3\\ \mathrm{nm}.
  1. 3\to1:
\frac{1}{\lambda_{31}} =1{,}097\times10^{7}\Bigl(1-\tfrac{1}{3^{2}}\Bigr) =1{,}097\times10^{7}\,\frac{8}{9} \approx9{,}752\times10^{6}\\ \mathrm{m}^{-1},
\lambda_{31}\approx\frac{1}{9{,}752\times10^{6}}=1{,}025\times10^{-7}\\ \mathrm{m} =102{,}6\\ \mathrm{nm}.
  1. 2\to1:
\frac{1}{\lambda_{21}} =1{,}097\times10^{7}\Bigl(1-\tfrac{1}{2^{2}}\Bigr) =1{,}097\times10^{7}\,\frac{3}{4} \approx8{,}228\times10^{6}\\ \mathrm{m}^{-1},
\lambda_{21}\approx\frac{1}{8{,}228\times10^{6}}=1{,}215\times10^{-7}\\ \mathrm{m} =121{,}6\\ \mathrm{nm}.

Resposta

E_{1}=-13{,}6\\ \mathrm{eV},\;E_{2}=-3{,}40\\ \mathrm{eV},\;E_{3}=-1{,}51\\ \mathrm{eV}.
Diagrama conforme passo 3.
Comprimentos de onda emitidos: \lambda_{32}=656{,}3\\ \mathrm{nm},\;\lambda_{31}=102{,}6\\ \mathrm{nm},\;\lambda_{21}=121{,}6\\ \mathrm{nm}.

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