[2,0 pontos] 05. Considere uma transição de um nível
para um nível
, onde
é muito grande. Para essa transição, demonstre o princípio da correspondência de Bohr.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar que, na transição de um nível
para o nível
com
muito grande, a frequência do fóton emitido no modelo de Bohr coincide com a frequência orbital clássica do elétron. Vamos usar o modelo de Bohr para elétron no átomo de hidrogênio e comparar o resultado quântico com o resultado clássico.
Passo 2
No modelo de Bohr, o nível de energia
do átomo de hidrogênio vale
onde
é a constante de Rydberg,
é a constante de Planck e
é a velocidade da luz.
Passo 3
A frequência
do fóton emitido na transição
satisfaz
Passo 4
Para
podemos aproximar
Logo
Passo 5
No modelo clássico de Bohr, o elétron descreve órbita circular de raio
, onde
é o raio de Bohr. A velocidade é
e o período orbital
vale
Portanto a frequência clássica é
Passo 6
Usando
e a definição de
, mostra-se que
exatamente o mesmo resultado que obtivemos para
quando
é grande.
Resposta
Para
, a frequência da radiação emitida na transição
é
e coincide com a frequência orbital clássica
Isso demonstra o princípio da correspondência de Bohr.