[2,0 pontos] 05. Considere uma transição de um nível n para um nível n-1, onde n é muito grande. Para essa transição, demonstre o princípio da correspondência de Bohr.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar que, na transição de um nível \,n para o nível \,n-1 com n muito grande, a frequência do fóton emitido no modelo de Bohr coincide com a frequência orbital clássica do elétron. Vamos usar o modelo de Bohr para elétron no átomo de hidrogênio e comparar o resultado quântico com o resultado clássico.

Passo 2

No modelo de Bohr, o nível de energia \,E_n do átomo de hidrogênio vale
E_n = -\frac{R\,h\,c}{n^2},
onde R é a constante de Rydberg, h é a constante de Planck e c é a velocidade da luz.

Passo 3

A frequência \nu do fóton emitido na transição n\to n-1 satisfaz
h\,\nu = E_{n-1} - E_n = -\frac{R\,h\,c}{(n-1)^2} - \Bigl(-\frac{R\,h\,c}{n^2}\Bigr) = R\,h\,c\Bigl(\frac1{(n-1)^2} - \frac1{n^2}\Bigr).

Passo 4

Para n\gg1 podemos aproximar
\frac1{(n-1)^2} - \frac1{n^2} = \frac{n^2 - (n-1)^2}{n^2(n-1)^2} = \frac{2n-1}{n^2(n-1)^2} \approx \frac{2n}{n^4} = \frac{2}{n^3}.
Logo
h\,\nu \approx R\,h\,c\;\frac{2}{n^3} \quad\Longrightarrow\quad \nu_{\rm quântico} = \frac{E_{n-1}-E_n}{h} \approx \frac{2\,R\,c}{n^3}.â

Passo 5

No modelo clássico de Bohr, o elétron descreve órbita circular de raio r_n = a_0\,n^2, onde a_0 é o raio de Bohr. A velocidade é
v_n = \frac{\hbar}{m\,a_0\,n},
e o período orbital T vale
T = \frac{2\pi\,r_n}{v_n} = \frac{2\pi\,a_0\,n^2}{\hbar/(m\,a_0\,n)} = \frac{2\pi\,m\,a_0^2\,n^3}{\hbar}.
Portanto a frequência clássica é
\nu_{\rm clássico} = \frac1T = \frac{\hbar}{2\pi\,m\,a_0^2\,n^3}.á

Passo 6

Usando a_0 = \tfrac{4\pi\varepsilon_0\,\hbar^2}{m\,e^2} e a definição de R, mostra-se que
\nu_{\rm clássico} = \frac{2\,R\,c}{n^3},á
exatamente o mesmo resultado que obtivemos para \nu_{\rm quântico}â quando n é grande.

Resposta

Para n\gg1, a frequência da radiação emitida na transição n\to n-1 é
\nu_{\rm quântico}\approx \frac{2\,R\,c}{n^3}â
e coincide com a frequência orbital clássica
\nu_{\rm clássico}=\frac{2\,R\,c}{n^3}.á
Isso demonstra o princípio da correspondência de Bohr.

Exercícios relacionados