Considere a curva y=\ln x, \operatorname{com} x>0.
(a) Calcule a curvatura \kappa(x) num ponto x>0.
(b) Para qual valor de x a curvatura da curva é máxima?
(c) [Bônus] O que acontece com a curvatura quando x \rightarrow 0^{+}? E quando x \rightarrow \infty ?
Passo 1
O enunciado nos dá a curva y=\ln x, definida para x>0, e pede:
(a) a curvatura \kappa(x) em um ponto genérico;
(b) o valor de x que maximiza \kappa(x);
(c) [Bônus] o comportamento de \kappa(x) quando x\to0^+ e quando x\to\infty.
O conteúdo usado será a fórmula da curvatura de uma curva no plano dada por y=y(x):
x^2=\tfrac12, \quad x=\frac1{\sqrt2} \quad(\text{único em }x>0).ú
Verificamos que é máximo pela mudança de sinal de \kappa'(x) ou simplesmente porque \kappa(x)\to0 nas bordas do domínio.
Passo 6
Para o comportamento nos extremos:
Quando x\to0^+, \kappa(x)\approx\frac{x}{1^{3/2}}=x\to0.
Quando x\to\infty, \kappa(x)\approx\frac{x}{x^3}=\frac1{x^2}\to0.
Resposta
(a) \displaystyle \kappa(x)=\frac{x}{(x^2+1)^{3/2}}.
(b) A curvatura é máxima em x=\tfrac1{\sqrt2}.
(c) Tanto para x\to0^+ quanto para x\to\infty, \kappa(x)\to0.