Considere a curva y=\ln x, \operatorname{com} x>0.
(a) Calcule a curvatura \kappa(x) num ponto x>0.
(b) Para qual valor de x a curvatura da curva é máxima?
(c) [Bônus] O que acontece com a curvatura quando x \rightarrow 0^{+}? E quando x \rightarrow \infty ?

Passo 1

O enunciado nos dá a curva y=\ln x, definida para x>0, e pede:
  • (a) a curvatura \kappa(x) em um ponto genérico;
  • (b) o valor de x que maximiza \kappa(x);
  • (c) [Bônus] o comportamento de \kappa(x) quando x\to0^+ e quando x\to\infty.
    O conteúdo usado será a fórmula da curvatura de uma curva no plano dada por y=y(x):
\kappa(x) = \frac{\bigl|y''(x)\bigr|}{\bigl(1+[y'(x)]^2\bigr)^{3/2}}.

Passo 2

Primeiro calculamos as derivadas de y=\ln x.
y'(x)=\frac{d}{dx}(\ln x)=\frac1x, \qquad y''(x)=\frac{d}{dx}\Bigl(\frac1x\Bigr)=-\frac1{x^2}.

Passo 3

Substituindo na fórmula da curvatura:
\kappa(x) = \frac{\bigl|y''(x)\bigr|}{\bigl(1+[y'(x)]^2\bigr)^{3/2}} = \frac{\frac1{x^2}}{\bigl(1+\tfrac1{x^2}\bigr)^{3/2}} \,.
Para simplificar note que 1+\tfrac1{x^2}=\tfrac{x^2+1}{x^2}, então
\kappa(x) = \frac{1/x^2}{\bigl((x^2+1)/x^2\bigr)^{3/2}} = \frac{1/x^2}{(x^2+1)^{3/2}/x^3} = \frac{x}{(x^2+1)^{3/2}}.

Passo 4

Agora achamos o máximo de
\kappa(x)=\frac{x}{(x^2+1)^{3/2}}, \qquad x>0.
Calculamos a derivada e igualamos a zero:
\kappa'(x) = \frac{(x^2+1)^{3/2}-\tfrac32\,x\,(x^2+1)^{1/2}\cdot2x}{(x^2+1)^3} = 0 \;\Longrightarrow\; (x^2+1)-3x^2=0 \;\Longrightarrow\; 1-2x^2=0.

Passo 5

Da equação 1-2x^2=0 vem
x^2=\tfrac12, \quad x=\frac1{\sqrt2} \quad(\text{único em }x>0).ú
Verificamos que é máximo pela mudança de sinal de \kappa'(x) ou simplesmente porque \kappa(x)\to0 nas bordas do domínio.

Passo 6

Para o comportamento nos extremos:
  • Quando x\to0^+, \kappa(x)\approx\frac{x}{1^{3/2}}=x\to0.
  • Quando x\to\infty, \kappa(x)\approx\frac{x}{x^3}=\frac1{x^2}\to0.

Resposta

(a) \displaystyle \kappa(x)=\frac{x}{(x^2+1)^{3/2}}.
(b) A curvatura é máxima em x=\tfrac1{\sqrt2}.
(c) Tanto para x\to0^+ quanto para x\to\infty, \kappa(x)\to0.

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