- Usando séries de Fourier, encontre a solução da seguinte Equação Diferencial Ordinária:
Passo 1
O enunciado pede a solução da EDO
usando séries de Fourier. Para isso, vamos considerar que
varia em
e que tanto
quanto a solução
têm extensão periódica de período
. A ideia é expandir
e
em série de Fourier em
e, ao substituir na equação, igualar coeficientes para determinar os coeficientes de
.
Passo 2
Expandimos
em série de Fourier sobre
:
Cálculo dos coeficientes:
,
(pois
e
anulam-se),
Logo
Passo 3
Suponhamos solução em série de Fourier
Então
Substituindo em
obtemos os coeficientes:
constante: ,
coseno :
constante:
coseno
seno
:
Passo 4
Da primeira relação
. Substituindo na segunda:
Como
, segue
Passo 5
Reescrevendo a série, a solução periódica em
é