1. Usando séries de Fourier, encontre a solução da seguinte Equação Diferencial Ordinária:
y^{\prime}+2 y=1+2 x

Passo 1

O enunciado pede a solução da EDO
y' + 2\,y = 1 + 2\,x
usando séries de Fourier. Para isso, vamos considerar que x varia em [-\pi,\pi] e que tanto f(x)=1+2x quanto a solução y(x) têm extensão periódica de período 2\pi. A ideia é expandir f e y em série de Fourier em [-\pi,\pi] e, ao substituir na equação, igualar coeficientes para determinar os coeficientes de y.

Passo 2

Expandimos
f(x)=1+2x
em série de Fourier sobre [-\pi,\pi]:
f(x)=\frac{a_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(a_{n}\cos(nx)+b_{n}\sin(nx)\bigr).
Cálculo dos coeficientes: a_{0}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1+2x)\,dx=2, a_{n}=0 (pois \int\cos(nx)\,dx e \int x\cos(nx)\,dx anulam-se),
b_{n}=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}(1+2x)\sin(nx)\,dx =-\frac{4(-1)^{n}}{n}.
Logo
f(x)=1-4\sum_{n=1}^{\infty}\frac{(-1)^{n}}{n}\,\sin(nx).

Passo 3

Suponhamos solução em série de Fourier
y(x)=\frac{A_{0}}{2}+\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(A_{n}\cos(nx)+B_{n}\sin(nx)\bigr).
Então
y'(x)=\sum_{n=1}^{\infty}\bigl(-nA_{n}\sin(nx)+nB_{n}\cos(nx)\bigr).
Substituindo em y'+2y=f obtemos os coeficientes:
constante: A_{0}=1,
coseno n:
n\,B_{n}+2\,A_{n}=0,
seno n:
-\,n\,A_{n}+2\,B_{n}=-\frac{4(-1)^{n}}{n}.

Passo 4

Da primeira relação B_{n}=-\tfrac{2}{n}A_{n}. Substituindo na segunda:
-\,nA_{n}+2\Bigl(-\frac{2}{n}A_{n}\Bigr) =-\frac{4(-1)^{n}}{n} \quad\Longrightarrow\quad -\Bigl(n+\frac{4}{n}\Bigr)A_{n} =-\frac{4(-1)^{n}}{n}.
Como n+\tfrac{4}{n}=\tfrac{n^{2}+4}{n}, segue
A_{n}=\frac{4(-1)^{n}}{n^{2}+4}, \qquad B_{n}=-\frac{2}{n}A_{n} =-\frac{8(-1)^{n}}{n\,(n^{2}+4)}.

Passo 5

Reescrevendo a série, a solução periódica em [-\pi,\pi] é
y(x) =\frac{A_{0}}{2} +\sum_{n=1}^{\infty}\Bigl(A_{n}\cos(nx)+B_{n}\sin(nx)\Bigr) =\tfrac12 +\sum_{n=1}^{\infty}\Biggl[ \frac{4(-1)^{n}}{n^{2}+4}\cos(nx) -\frac{8(-1)^{n}}{n(n^{2}+4)}\sin(nx) \Biggr].

Resposta

\boxed{ y(x)=\frac12 +\sum_{n=1}^{\infty} \Biggl[ \frac{4(-1)^{n}}{n^{2}+4}\cos(nx) -\frac{8(-1)^{n}}{n(n^{2}+4)}\sin(nx) \Biggr]. }

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