1. Resolva o problema do fluxo do calor:
\begin{cases}\frac{\partial u}{\partial t}=4 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, & 0<x<\pi, t>0 \\\ u(0, t)=u(\pi, t)=0, & t>0 \\\ u(x, 0)=\operatorname{sen}(2 x), & 0<x<\pi\end{cases}

Passo 1

O enunciado pede a solução do problema de fluxo de calor em um fio de comprimento \pi com condições de contorno homogêneas e condição inicial u(x,0)=\sin(2x). O conteúdo é a equação do calor unidimensional
\frac{\partial u}{\partial t}=4\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}},
com 0<x<\pi, t>0, u(0,t)=u(\pi,t)=0. Vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier em senos.

Passo 2

Assumimos u(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo na equação do calor,
X(x)\,T'(t)=4\,X''(x)\,T(t)
e dividindo por 4\,X(x)T(t) obtemos
\frac{T'(t)}{4\,T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda.
Isso gera os ODEs
X''+\lambda X=0,\quad T'+4\lambda T=0,
com as condições X(0)=0, X(\pi)=0.

Passo 3

A condição em X leva aos autovalores e autovetores clássicos:
\lambda_n=n^2,\quad X_n(x)=\sin(nx),\quad n=1,2,3,\dots
Para cada n, a parte temporal é
T_n(t)=B_n\,e^{-4\lambda_n t}=B_n\,e^{-4n^2 t}.
Logo a solução geral em série é
u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\,e^{-4n^2 t}\,\sin(nx).

Passo 4

A condição inicial u(x,0)=\sin(2x) implica
\sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(nx)=\sin(2x).
Pela ortogonalidade dos senos, A_n=0 para todo n\neq2 e
A_2=1.

Passo 5

Substituindo apenas n=2 na série, obtemos a solução particular
u(x,t)=e^{-4\cdot2^2\,t}\,\sin(2x)=e^{-16t}\,\sin(2x).

Resposta

u(x,t)=e^{-16t}\,\sin(2x).

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