Resolva o problema do fluxo do calor: \begin{cases}\frac{\partial u}{\partial t}=4 \frac{\partial^{2} u}{\partial x^{2}}, & 0<x<\pi, t>0 \\\ u(0, t)=u(\pi, t)=0, & t>0 \\\ u(x, 0)=\operatorname{sen}(2 x), & 0<x<\pi\end{cases} Passo 1O enunciado pede a solução do problema de fluxo de calor em um fio de comprimento \pi com condições de contorno homogêneas e condição inicial u(x,0)=\sin(2x). O conteúdo é a equação do calor unidimensional \frac{\partial u}{\partial t}=4\,\frac{\partial^{2}u}{\partial x^{2}}, com 0<x<\pi, t>0, u(0,t)=u(\pi,t)=0. Vamos usar o método de separação de variáveis e séries de Fourier em senos. Passo 2Assumimos u(x,t)=X(x)\,T(t). Substituindo na equação do calor, X(x)\,T'(t)=4\,X''(x)\,T(t) e dividindo por 4\,X(x)T(t) obtemos \frac{T'(t)}{4\,T(t)}=\frac{X''(x)}{X(x)}=-\lambda. Isso gera os ODEs X''+\lambda X=0,\quad T'+4\lambda T=0, com as condições X(0)=0, X(\pi)=0. Passo 3A condição em X leva aos autovalores e autovetores clássicos: \lambda_n=n^2,\quad X_n(x)=\sin(nx),\quad n=1,2,3,\dots Para cada n, a parte temporal é T_n(t)=B_n\,e^{-4\lambda_n t}=B_n\,e^{-4n^2 t}. Logo a solução geral em série é u(x,t)=\sum_{n=1}^{\infty}A_n\,e^{-4n^2 t}\,\sin(nx). Passo 4A condição inicial u(x,0)=\sin(2x) implica \sum_{n=1}^{\infty}A_n\sin(nx)=\sin(2x). Pela ortogonalidade dos senos, A_n=0 para todo n\neq2 e A_2=1. Passo 5Substituindo apenas n=2 na série, obtemos a solução particular u(x,t)=e^{-4\cdot2^2\,t}\,\sin(2x)=e^{-16t}\,\sin(2x). Resposta u(x,t)=e^{-16t}\,\sin(2x). MOSTRAR SOLUÇÃO COMPLETAExercícios relacionados Usando séries de Fourier, encontre a solução da seguinte Equação Diferencial Ordinária: y^{\prime}+2 y=1+2 x [2,0 pontos] 05. Considere uma transição de um nível n para um nível n-1, onde n é muito grande. Para essa transição, demonstre o princípio da correspondência de Bohr. Use a Regra da Substituição para calcular: \int_{-\frac{\pi}{2}}^{0} \cos ^{2}(x) \operatorname{sen}(x) d x; Use a Regra da Substituição para calcular: \int_{0}^{1}(x+1) e^{x^{2}+2 x} d x;