Encontre a solução geral das seguintes EDOs:
y^{\prime \prime}-9 y+25=0

Passo 1

O enunciado nos dá a EDO não homogênea de segunda ordem com coeficientes constantes
y'' - 9y + 25 = 0
O método é encontrar a solução geral como
y(x) = y_h(x) + y_p(x)
onde y_h é a solução da homogênea associada e y_p é uma solução particular.

Passo 2

Para a parte homogênea escrevemos
y'' - 9y = 0
e montamos a equação característica
r^2 - 9 = 0.
Suas raízes são
r = 3,\quad r = -3,
logo a solução homogênea é
y_h(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x}.

Passo 3

Procuramos uma solução particular constante, y_p(x)=A. Então
y_p'' = 0
e, substituindo em y'' - 9y + 25=0, vem
0 - 9A + 25 = 0 \quad\Longrightarrow\quad A = \frac{25}{9}.
Logo
y_p(x) = \frac{25}{9}.

Passo 4

Pela superposição, a solução geral é
y(x) = y_h(x) + y_p(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} + \frac{25}{9}.

Resposta

y(x) = C_1 e^{3x} + C_2 e^{-3x} + \frac{25}{9}.

Exercícios relacionados