[2 pontos] Admita-se que X\) tenha valores possíveis \(1,2,3, \ldots, n, \ldots\) e suponha-se que \(P(X=n)=(1 / 2)^{n}\). Seja \[Y= \begin{cases}1 & , \text { se } X \text { for par } \\\\ -1 & , \text { se } X \text { for ímpar }\end{cases}
Calcule (P(Y=-1)].

Passo 1

Vamos recapitular: X é uma variável discreta com valores em 1,2,3,\dots e
P(X=n) = \Bigl(\tfrac12\Bigr)^n.
Definimos Y=1 se X for par e Y=-1 se X for ímpar. Queremos calcular P(Y=-1). O conteúdo envolve soma de probabilidades para variável discreta e séries geométricas.

Passo 2

Como Y=-1 exatamente quando X é ímpar, escrevemos
P(Y=-1) = P(X\text{ ímpar}) = \sum_{\substack{n=1 \\\ n\text{ ímpar}}}^{\infty}P(X=n).íí

Passo 3

Os números ímpares são da forma n=2k+1 com k=0,1,2,\dots. Então
P(Y=-1) = \sum_{k=0}^{\infty}P\bigl(X=2k+1\bigr).

Passo 4

Substituindo P(X=n)=(1/2)^n, temos
P(Y=-1) = \sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac12\Bigr)^{2k+1} = \tfrac12\sum_{k=0}^{\infty}\Bigl(\tfrac14\Bigr)^{k}.

Passo 5

Reconhecemos \sum_{k=0}^{\infty}(1/4)^k como série geométrica de razão 1/4 cuja soma é 1/(1-1/4)=4/3. Logo
P(Y=-1) = \tfrac12 \cdot \tfrac{4}{3} = \tfrac{2}{3}.

Resposta

\displaystyle \frac{2}{3}

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