[ 2 pontos] Suponha que um fabricante de lâmpadas esteja interessado no número de lámpadas encomendadas a ele durante os meses de janeiro e fevereiro. Sejam X e Y, respectivamente, o número de lâmpadas encomendadas durante estes dois meses. Admitiremos que ( X, Y ) seja uma variável aleatória contínua bidimensional, com a seguinte fdp conjunta
f(x, y)= \begin{cases}x^{2}+\frac{x y}{3}, & 0 \leq x \leq 1 \quad 0 \leq y \leq 2 \\\\ 0, & \text { para quaisquer outros valores }\end{cases}
(a) Mostre que
\int_{-\infty}^{+\infty} \int_{-\infty}^{+\infty} f(x, y) d x d y=1
(b) Calcule
\frac{\partial^{2} f(x, y)}{\partial x \partial y}

Passo 1

O enunciado apresenta uma v.a. contínua bidimensional (X,Y)\) com fdp conjunta \[f(x,y)= \begin{cases} x^2+\dfrac{xy}{3},&0\le x\le1,\;0\le y\le2,\\\\ 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}
Precisamos (a) verificar a normalização
\int_{-\infty}^{+\infty}\!\int_{-\infty}^{+\infty}f(x,y)\,dx\,dy=1
e (b) calcular a derivada mista (\displaystyle\frac{\partial^2f(x,y)}{\partial x,\partial y}].

Passo 2

Para a normalização, restringimos o integral a x\in[0,1], y\in[0,2]:
\int_{0}^{2}\!\int_{0}^{1}\Bigl(x^2+\tfrac{xy}{3}\Bigr)\,dx\,dy.
Integramos primeiro em x:
\int_{0}^{1}x^2\,dx=\tfrac{1}{3}, \qquad \int_{0}^{1}\tfrac{xy}{3}\,dx =\tfrac{y}{3}\int_{0}^{1}x\,dx =\tfrac{y}{3}\cdot\tfrac{1}{2} =\tfrac{y}{6}.
Então o integral vira
\int_{0}^{2}\Bigl(\tfrac{1}{3}+\tfrac{y}{6}\Bigr)\,dy =\tfrac{1}{3}\cdot2+\tfrac{1}{6}\int_{0}^{2}y\,dy =\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{6}\cdot\tfrac{2^2}{2} =\tfrac{2}{3}+\tfrac{1}{3} =1.

Passo 3

Para a derivada mista, usamos a forma interna f(x,y)=x^2+\tfrac{xy}{3}.
Primeiro derivamos em y:
\frac{\partial f}{\partial y}=\frac{x}{3}.
Agora em x:
\frac{\partial^2 f}{\partial x\,\partial y} =\frac{\partial}{\partial x}\Bigl(\tfrac{x}{3}\Bigr) =\tfrac{1}{3}.

Resposta

(a) 1
(b) \tfrac{1}{3}

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