[2 pontos] Suponhamos que X tenha f d p
f(x)=2 x, \quad 0<x<1
Suponha que H(x)=3 x+1. Encontre a função densidade de probabilidade de Y=H(X).

Passo 1

O enunciado diz que X tem densidade
f(x)=2x,\quad 0<x<1
e define a transformação Y=H(X) com
H(x)=3x+1.
Como H é estritamente crescente (pois H'(x)=3>0), podemos usar a fórmula de mudança de variável para densidades:
g(y)=f\bigl(h^{-1}(y)\bigr)\,\Bigl|\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}h^{-1}(y)\Bigr|.

Passo 2

Achar a inversa de H. Como
y=3x+1
temos
x=h^{-1}(y)=\frac{y-1}{3}.

Passo 3

Determinar o suporte de Y. Para 0<x<1 vale
1=3\cdot0+1<y<3\cdot1+1=4,
logo 1<y<4.

Passo 4

Calcular a derivada do inverso:
\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}h^{-1}(y)=\frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}\Bigl(\frac{y-1}{3}\Bigr)=\frac{1}{3}.

Passo 5

Aplicar a fórmula de densidade: para 1<y<4,
g(y) =f\bigl(h^{-1}(y)\bigr)\,\Bigl|\tfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}y}h^{-1}(y)\Bigr| =2\cdot\frac{y-1}{3}\cdot\frac{1}{3} =\frac{2(y-1)}{9}.
Fora desse intervalo, g(y)=0.

Resposta

g(y)= \begin{cases} \displaystyle \frac{2(y-1)}{9},&1<y<4,\\[6pt] 0,&\text{caso contrário.} \end{cases}á]

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