[2,5 pontos ] Um asteroide em rota de colisão com a Terra, tem uma velocidade de 12 \mathrm{~m} / \mathrm{s} em relação ao planeta quando está a uma distância de 10 raios terrestre do centro da Terra. Desprezando os efeitos da atmosfera da Terra sobre o asteroide, determine a velocidade do asteroide, v_{f}, ao atingir a superficie da Terra. (Se necessário, considere MTerra =5,98.10^{24} \mathrm{~kg}, R_{\text {Terra }}=6,37.10^{6} \mathrm{~m} e \mathrm{G}=6,67.10^{-11} \mathrm{~m}^{3} / \mathrm{kg} . \mathrm{s}^{2} )

Passo 1

O enunciado diz que um asteroide está a uma distância de 10R_{\text{Terra}} do centro da Terra com velocidade de 12\text{ m/s}. Deseja-se calcular a velocidade v_f ao atingir a superfície, desprezando resistência do ar. O conteúdo necessário é conservação da energia mecânica no campo gravitacional.

Passo 2

Pela conservação da energia mecânica, a soma de energia cinética e potencial inicial é igual à soma final. Assim,
\frac12 m v_i^2 \;-\;\frac{GMm}{r_i} \;=\; \frac12 m v_f^2 \;-\;\frac{GMm}{r_f}

Passo 3

Cancelamos a massa m e isolamos v_f^2:
v_f^2 \;=\; v_i^2 \;+\;2GM\Bigl(\tfrac{1}{r_f}-\tfrac{1}{r_i}\Bigr)

Passo 4

Substituindo \;v_i=12\text{ m/s},\;r_i=10R_{\text{Terra}},\;r_f=R_{\text{Terra}},\;GM=6{,}67\times10^{-11}\times5{,}98\times10^{24}=3{,}986\times10^{14}\text{ m}^3/\text{s}^2,
obtemos
v_f^2 =12^2 +2\times3{,}986\times10^{14}\Bigl(\tfrac{1}{6{,}37\times10^6}-\tfrac{1}{10\times6{,}37\times10^6}\Bigr) \approx1{,}1264\times10^8
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v_f\approx\sqrt{1{,}1264\times10^8}\approx1{,}061\times10^4\text{ m/s}.

Resposta

A velocidade ao atingir a superfície da Terra é aproximadamente 1{,}06\times10^4\text{ m/s}.

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