Sobre a importância do conceito de ondas de matéria. Vimos que a ideia de Louis de Broglie sobre a possibilidade de uma partícula material ter um comportamento ondulatório teve impacto enorme tanto na ciência quanto na tecnologia. Na ciência, porque conseguiu, dentre outas coisas, explicar por que a energia dos átomos e de todos os outros sistemas ligados é quantiza. Lembre-se que desde as primeiras ideias de Ludwig Boltzmann (com seu modelo de gás ideal), de Max Planck (com seu modelo da radiação térmica), de Niels Bohr (com seu modelo atômico) até Franck-Hertz (com sua experiência do gás de Mercúrio), todos haviam mostrado que a energia da matéria era quantizada, mas nenhum deles explicou a causa dessa quantização. A causa era o comportamento ondulatório da matéria! 0 impacto da ideia de de Broglie na tecnologia foi ainda maior, porque permitiu a criação de dispositivos que se aproveitassem das características própria das ondas: i) atravessar paredes sólidas, explorando o fenômeno de tunelamento (usado em vários chips semicondutores, como as memórias flash, diodo túnel, transistores de tunelamento etc, e para fazer imagens e obter propriedades de sistemas atômicos, como na microscopia de tunelamento quântico); ii) ser usada como ferramenta de medida para alcançar dimensões muito menores do que as obtidas usando ondas acústicas e eletromagnéticas, como na microscopia eletrônica. 0 que fez tudo isso ser possível foi a descoberta de um comprimento de onda que está associado com a energia cinética da partícula \lambda=h / \sqrt{2 m K}. Isso significa que basta pegar uma partícula que possui carga elétrica e colocá-la dentro de um campo elétrico para alterar sua energia K. Com o mesmo instrumento podemos ter \lambda continuamente variável, o que não ocorre com os lasers, por exemplo.
a) Estime a energia que os elétrons no microscópio eletrônico de transmissão precisam ter para se obter imagens da superfície de um LED quântico (QLED) semicondutor com dimensões de 2,7 Å. Esses dispositivos são usados em telas com alta resolução, comercialmente conhecidas com o codinome 4 K .
b) Uma das técnicas comumente usadas em laboratórios para determinar a estrutura de materiais é o espalhamento partículas. Se um feixe de prótons com 2 eV é usado e o ângulo de espalhamento observado a partir do quinto máximo de difração é de 30^{\circ}, qual a distância entre os planos atômicos do cristal? Observe como por meio de uma técnica simples é possível obter informações sobre os materiais, como a disposição espacial dos átomos.
c) Se em vez de prótons fossem usadas as ondas eletromagnéticas cujos fótons tivessem os mesmos 2 eV , qual seria a maior resolução possível? Seria possível obter imagens dos LEDs do item (a) ou dos planos cristalinos do item (b)? Um viva à de Broglie!
Dicas: use n \lambda=2 d \operatorname{sen} \theta e E_{0 p r o ́ t o n}=938,3 \mathrm{MeV}.

Passo 1

O enunciado explora o conceito de ondas de matéria de Broglie e pede três cálculos:
– (a) a energia cinética K que um elétron deve ter para exibir comprimento de onda \lambda=2{,}7,Å, usando
\lambda = \frac{h}{\sqrt{2\,m_{e}\,K}}.
– (b) a distância d entre planos atômicos de um cristal, a partir de prótons de K=2,eV que geram o quinto máximo de difração a \theta=30^\circ, usando
n\,\lambda = 2\,d\,\sin\theta.
– (c) a maior resolução (comprimento de onda) obtida com fótons de 2,eV e comparar com os casos (a) e (b).
Para (a) e (b) vamos usar a fórmula de de Broglie \lambda=h/\sqrt{2mK}, e para (b) também a lei de Bragg; para (c) usamos
\lambda_{\rm fóton} = \frac{h\,c}{E}\,.ó

Passo 2

Cálculo da energia cinética de um elétron para \lambda=2{,}7,Å.
Usamos
\lambda = \frac{h}{\sqrt{2\,m_{e}\,K}} \quad\Longrightarrow\quad K = \frac{h^{2}}{2\,m_{e}\,\lambda^{2}}.
Substituindo
h = 6{,}626\times10^{-34}\,\mathrm{J\,s},\quad m_{e} = 9{,}109\times10^{-31}\,\mathrm{kg},\quad \lambda = 2{,}7\times10^{-10}\,\mathrm{m},
temos
K = \frac{(6{,}626\times10^{-34})^{2}} {2\,(9{,}109\times10^{-31})\,(2{,}7\times10^{-10})^{2}} \approx 3{,}31\times10^{-18}\,\mathrm{J}.
Convertendo para elétron-volts 1\,\mathrm{eV}=1{,}602\times10^{-19}\,\mathrm{J}:
K \approx \frac{3{,}31\times10^{-18}}{1{,}602\times10^{-19}} \approx 20{,}7\\ \mathrm{eV}.

Passo 3

Cálculo da distância entre planos usando prótons de K=2,eV e o quinto máximo a \theta=30^\circ.
  1. Primeiro achamos \lambda_{\rm próton}ó pela de Broglie:
\lambda_{\rm próton} = \frac{h}{\sqrt{2\,m_{p}\,K}} \quad\text{com}\quad m_{p}=1{,}673\times10^{-27}\,\mathrm{kg},\\ K=2\,\mathrm{eV}=3{,}204\times10^{-19}\,\mathrm{J}.ó
Calculando,
\lambda_{\rm próton} \approx \frac{6{,}626\times10^{-34}} {\sqrt{2\,(1{,}673\times10^{-27})(3{,}204\times10^{-19})}} \approx 2{,}03\times10^{-11}\,\mathrm{m}.ó
  1. Aplicamos Bragg para o quinto máximo n=5:
n\,\lambda = 2\,d\,\sin\theta \quad\Longrightarrow\quad d = \frac{n\,\lambda}{2\,\sin\theta} = \frac{5\,(2{,}03\times10^{-11}\,\mathrm{m})}{2\,\sin30^\circ} = 1{,}01\times10^{-10}\,\mathrm{m}.

Passo 4

Resolução máxima com fótons de E=2,eV.
Usamos
\lambda_{\rm fóton} = \frac{h\,c}{E}.ó
Com h\,c\approx1240,e V\cdot nm, obtemos
\lambda_{\rm fóton} \approx \frac{1240\\ \mathrm{eV\cdot nm}}{2\\ \mathrm{eV}} = 620\\ \mathrm{nm}.ó
Essa é a menor dimensão que um feixe de fótons de 2,eV pode resolver.
Como 620,nm \gg 0{,}27,nm (QLED) e \gg 0{,}10,nm (planos cristalinos), esse feixe de fótons de 2,eV não permitiria imagens em (a) nem em (b).

Resposta

(a) K\approx20{,}7,eV.
(b) d\approx1{,}01\times10^{-10},m ( \approx 1 Å).
(c) \lambda_{\rm fóton}\approx620ó,nm; não seria possível obter as resoluções dos itens (a) ou (b).

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