Um projétil rastreador move-se em trajetória plana de tal forma que a distância radial à origem cresce a uma taxa (relativamente à coordenada azimutal \varphi ), proporcional à própria distância radial ( \rho ). No instante inicial ( t=0, \varphi=0 ), o projétil está a \rho_{0}=2 \mathrm{~m} da origem. A constante de proporcionalidade é igual ao primeiro dígito não nulo do seu número de matrícula, da direita para a esquerda e, além disso, sabe-se que sua velocidade angular é constante e igual a \omega=\pi / 3 \mathrm{rd} / \mathrm{s}.
Determine o comprimento da trajetória percorrida nos primeiros 1,8(\mathrm{~s}) de voo, apresentando:
a) a função \rho(\varphi) obtida a partir da condição dada;
b) a expressão para o elemento de arco em coordenadas polares em função de apenas uma das variáveis (dica: \varphi ) e da integral utilizada para calcular o comprimento da trajetória;
c) o resultado numérico final da distância percorrida com 5 algarismos significativos.

Passo 1

O enunciado descreve um movimento plano em coordenadas polares (\rho,\varphi) tal que
  1. \displaystyle \frac{d\rho}{d\varphi}=k\,\rho, com condição inicial \rho(0)=\rho_{0}=2 m.
  2. A velocidade angular é constante \omega=\pi/3 rad/s, de modo que em t=1{,}8 s ocorre \varphi_f=\omega\,t=0{,}6\pi rad.
  3. A constante de proporcionalidade k deveria ser “o primeiro dígito não nulo do número de matrícula, da direita para a esquerda”.
Para obter a função \rho(\varphi), o elemento de arco e o comprimento numérico, precisamos do valor de k.

Passo 2

Não é possível determinar numericamente o comprimento da trajetória nem apresentar o valor de \rho(\varphi) com número concreto, pois falta o valor de k. Sem esse dado não podemos prosseguir à parte (c).

Resposta

Não há como calcular a resposta numérica pois o valor de k não foi informado.

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