[2.0 pontos] Calcule a integral definida, \int_{0}^{2}|x-1|(2 x+1) d x.

Passo 1

O enunciado pede calcular a integral definida \int_{0}^{2}|x-1|(2x+1)\,dx. O conteúdo envolve manipular o valor absoluto e integrar polinômios. A estratégia é dividir o domínio onde x-1 muda de sinal (em x=1) e resolver duas integrais de polinômios.

Passo 2

Para 0 \le x < 1, temos |x-1| = 1 - x.
Para 1 \le x \le 2, temos |x-1| = x - 1.
Logo,
\int_{0}^{2}|x-1|(2x+1)\,dx =\int_{0}^{1}(1-x)(2x+1)\,dx +\int_{1}^{2}(x-1)(2x+1)\,dx.

Passo 3

Na primeira integral:
(1-x)(2x+1) = -2x^{2} + x + 1.
Uma primitiva é
F_{1}(x) = \int\bigl(-2x^{2} + x + 1\bigr)\,dx = -\frac{2}{3}x^{3} + \frac{1}{2}x^{2} + x.
Avaliando de 0 a 1:
F_{1}(1) - F_{1}(0) = \Bigl(-\tfrac{2}{3} + \tfrac{1}{2} + 1\Bigr) - 0 = \frac{5}{6}.

Passo 4

Na segunda integral:
(x-1)(2x+1) = 2x^{2} - x - 1.
Uma primitiva é
F_{2}(x) = \int\bigl(2x^{2} - x - 1\bigr)\,dx = \frac{2}{3}x^{3} - \frac{1}{2}x^{2} - x.
Avaliando de 1 a 2:
F_{2}(2) - F_{2}(1) = \Bigl(\tfrac{16}{3} - 2 - 2\Bigr) - \Bigl(\tfrac{2}{3} - \tfrac{1}{2} - 1\Bigr) = \frac{4}{3} - \Bigl(-\frac{5}{6}\Bigr) = \frac{13}{6}.

Passo 5

Somando as duas partes:
\frac{5}{6} + \frac{13}{6} = 3.

Resposta

3

Exercícios relacionados