1. Prove que a \in X_{+}^{\prime} (respectivamente, a \in X_{-}^{\prime} ) se, e somente se, a=\lim x_{n} é limite de uma seqüência decrescente (respectivamente, crescente) de pontos pertencentes ao conjunto X.

Passo 1

O enunciado pede para mostrar, dado um subconjunto X\subseteq\mathbb{R}, que
a\in X_{+}'\quad\Longleftrightarrow\quad\text{existe sequência decrescente }(x_{n})\subseteq X\text{ com }\lim_{n\to\infty}x_{n}=a,ê
onde
X_{+}'=\bigl\{a\in\mathbb{R}:\forall\varepsilon>0,\;(a,a+\varepsilon)\cap X\neq\varnothing\bigr\}.
A parte para X_{-}' (usando intervalos (a-\varepsilon,a)) é totalmente análoga.

Passo 2

(“ \Longrightarrow”) Suponha que exista uma sequência (x_{n})\subseteq X decrescente tal que \lim x_{n}=a e x_{n}>a para todo n. Dado \varepsilon>0, como x_{n}\to a, existe N tal que, para todo n\ge N,
|x_{n}-a|<\varepsilon\quad\Longrightarrow\quad a<x_{n}<a+\varepsilon.
Logo (a,a+\varepsilon)\cap X\neq\varnothing. Como isto vale para todo \varepsilon>0, concluímos a\in X_{+}'.

Passo 3

(“ \Longleftarrow”) Agora suponha a\in X_{+}'. Então, para cada n\in\mathbb{N},
(a,a+\tfrac1n)\cap X\neq\varnothing.
Escolhemos recursivamente uma sequência (x_{n})\subseteq X satisfazendo
a< x_{n}\le x_{n-1},\quad x_{n}-a<\frac1n.
De fato:
— Para n=1, escolha x_{1}\in X\cap(a,a+1).
— Suponha x_{n-1} já definido. Como \min\{a+1/n,x_{n-1}\}>a e (a,a+1/n)\cap X\neq\varnothing, existe algum x_{n}\in X\cap\bigl(a,\min\{a+1/n,x_{n-1}\}\bigr).
Isso garante a< x_{n}\le x_{n-1} (ou seja, a sequência é decrescente) e x_{n}-a<1/n.
Em particular, \lim_{n\to\infty}(x_{n}-a)=0, ou seja, \lim x_{n}=a.

Passo 4

A prova para X_{-}' é idêntica, trocando todos os intervalos (a,a+\varepsilon) por (a-\varepsilon,a) e garantindo uma sequência crescente.

Resposta

Mostramos que
a\in X_{+}'\quad\Longleftrightarrow\quad\exists\,(x_{n})\subseteq X\text{ decrescente, com }\lim x_{n}=a,
e analogamente para X_{-}' usando sequência crescente.

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