- Prove que
(respectivamente,
) se, e somente se,
é limite de uma seqüência decrescente (respectivamente, crescente) de pontos pertencentes ao conjunto
.
Passo 1
O enunciado pede para mostrar, dado um subconjunto
, que
onde
A parte para
(usando intervalos
) é totalmente análoga.
Passo 2
(“
”) Suponha que exista uma sequência
decrescente tal que
e
para todo
. Dado
, como
, existe
tal que, para todo
,
Logo
. Como isto vale para todo
, concluímos
.
Passo 3
(“
”) Agora suponha
. Então, para cada
,
Escolhemos recursivamente uma sequência
satisfazendo
De fato:
— Para , escolha
.
— Suponha já definido. Como
e
, existe algum
.
Isso garante (ou seja, a sequência é decrescente) e
.
Em particular, , ou seja,
.
— Para
— Suponha
Isso garante
Em particular,
Passo 4
A prova para
é idêntica, trocando todos os intervalos
por
e garantindo uma sequência crescente.
Resposta
Mostramos que
e analogamente para
usando sequência crescente.