[4.0 pontos] Considere a função G definida por G(x)=\int_{\sin x}^{1} \cos ^{2}(\theta) d \theta.
(a) Calcule G(3 \pi / 2).
(b) Determine a função derivada d G(x) / d x, x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado define
G(x)=\int_{\sin x}^{1}\cos^{2}(\theta)\,d\theta
e pede:
(a) G(3\pi/2)
(b) \dfrac{dG}{dx} para x\in\mathbb{R}.
O conteúdo envolvido é o Teorema Fundamental do Cálculo para integrais com limites variáveis e a integração de funções trigonométricas usando identidades.

Passo 2

Para calcular G(3\pi/2) precisamos de uma antiderivada de \cos^{2}(\theta). Usamos a identidade
\cos^{2}(\theta)=\frac{1+\cos(2\theta)}{2},
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\int\cos^{2}(\theta)\,d\theta =\int\frac{1+\cos(2\theta)}{2}\,d\theta =\frac{\theta}{2}+\frac{\sin(2\theta)}{4}+C.

Passo 3

Primeiro note que \sin(3\pi/2)=-1. Então
G\bigl(3\pi/2\bigr) =\int_{-1}^{1}\cos^{2}(\theta)\,d\theta =\Bigl[\frac{\theta}{2}+\frac{\sin(2\theta)}{4}\Bigr]_{-1}^{1}.
Calculando:
F(1)=\frac{1}{2}+\frac{\sin(2)}{4},\quad F(-1)=-\frac{1}{2}+\frac{\sin(-2)}{4} =-\frac{1}{2}-\frac{\sin(2)}{4},
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G\bigl(3\pi/2\bigr) =F(1)-F(-1) =1+\frac{\sin(2)}{2}.

Passo 4

Para a derivada usamos o Teorema Fundamental do Cálculo com limite inferior variável a(x)=\sin x e limite superior constante. Assim
\frac{d}{dx}\int_{a(x)}^{1}\cos^{2}(\theta)\,d\theta =-\cos^{2}\bigl(a(x)\bigr)\,a'(x) =-\cos^{2}(\sin x)\,\cos x.

Resposta

(a) \displaystyle G\bigl(3\pi/2\bigr)=1+\frac{\sin(2)}{2}.
(b) \displaystyle \frac{dG}{dx}=-\cos x\;\cos^{2}(\sin x).

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