Bônus! [1.5 pontos] Considere a função F definida por F(x)=\int_{\cos x}^{1} \mathrm{e}^{\left(w^{2}+\sin x\right)} d w.
Determine d F(x) / d x, x \in \mathbb{R}.

Passo 1

O enunciado nos dá a função
F(x)=\int_{\cos x}^{1} e^{\bigl(w^{2}+\sin x\bigr)}\,dw
e pede F'(x). O conteúdo necessário é a regra de Leibniz para diferenciar integrais de parâmetro com limites variáveis e integrando que depende de x.

Passo 2

Pela regra de Leibniz, se
F(x)=\int_{a(x)}^{b(x)} f(w,x)\,dw,
então
F'(x)=f\bigl(b(x),x\bigr)\,b'(x)\;-\;f\bigl(a(x),x\bigr)\,a'(x)\;+\;\int_{a(x)}^{b(x)}\frac{\partial}{\partial x}f(w,x)\,dw.
Aqui a(x)=\cos x, b(x)=1 e f(w,x)=e^{\bigl(w^{2}+\sin x\bigr)}.

Passo 3

Calculamos cada termo de contorno:
b'(x)=0 implica
f\bigl(b(x),x\bigr)\,b'(x)=0.
Como a'(x)=-\sin x,
-\,f\bigl(a(x),x\bigr)\,a'(x) =-\,e^{\bigl((\cos x)^{2}+\sin x\bigr)}\;(-\sin x) =e^{\bigl(\cos^{2}x+\sin x\bigr)}\,\sin x.

Passo 4

Agora o termo da derivada interna:
\frac{\partial}{\partial x}f(w,x) =\frac{\partial}{\partial x}e^{\bigl(w^{2}+\sin x\bigr)} =e^{\bigl(w^{2}+\sin x\bigr)}\cos x.
Portanto
\int_{\cos x}^{1}\frac{\partial}{\partial x}f(w,x)\,dw =\cos x\int_{\cos x}^{1}e^{\bigl(w^{2}+\sin x\bigr)}\,dw =\cos x\,F(x).

Passo 5

Somando os termos, obtemos
F'(x) =e^{\bigl(\cos^{2}x+\sin x\bigr)}\,\sin x \;+\;\cos x\,F(x).

Resposta

F'(x)=e^{\bigl(\cos^{2}x+\sin x\bigr)}\,\sin x+\cos x\,F(x).

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