QUESTĀO No. 2 (25 pontos)
Utilizando a Labela de transformadas de Laplace e o teorema da convoluçīo calcule
Observaçāo importante:
Esta questiôo nâo será corrigida se ela for resolvida por algum outro método.
Passo 1
O que o enunciado dá e pede (resumido, com tudo que é relevante):
- Foi dada a transformada no domínio de Laplace
- Pede-se
, isto é, encontrar a função temporal tal que . - Observação do enunciado: resolver usando a tabela de transformadas de Laplace e o teorema da convolução (portanto não usar outro método).
Passo 2
Lembrete didático: teorema da convolução e pares da tabela que usaremos.
- Teorema da convolução (versão que usaremos): se
e , então
Explicando:
e
são funções no tempo;
e
são suas transformadas em
. O símbolo
indica convolução no tempo. A integral vai de
a
porque adotamos a transformada unilateral (causalidade).
- Pares de Laplace que vamos usar (da tabela):
-
, onde é constante real. -
, onde .
Explicando as variáveis:é a taxa de decaimento exponencial (se positiva dá decaimento), é a frequência angular do cosseno. Essas fórmulas significam que a transformada de é e a transformada de é .
-
Passo 3
Identificar
como produto de duas transformadas da tabela (isso habilita uso do teorema da convolução):
Usando os pares da tabela:
-
é a transformada de , isto é . -
é a transformada de , pois .
Logo, definimos
e portanto, pela convolução,
Passo 4
Montar a integral de convolução e preparar para calcular:
Para integrar é conveniente usar a identidade trigonométrica de ângulo da diferença:
Substituindo na integral e tirando fatores independentes de
para fora:
Definimos as duas integrais auxiliares
Passo 5
Calcular as integrais
e
usando fórmulas conhecidas (ou integração por partes). Fórmulas úteis (válidas para
real e
):
Aqui
e
. Aplicando para integrais definidas de
a
:
Para
:
Para
:
Passo 6
Substituir
e
em
e simplificar cuidadosamente:
Agora expandir os termos que multiplicam
e agrupar:
Note que os termos
e
se cancelam, e
. Assim o coeficiente do
fica
. Portanto