QUESTĀO No. 2 (25 pontos)

Utilizando a Labela de transformadas de Laplace e o teorema da convoluçīo calcule
\mathcal{L}^{-1}\left[\frac{13 s}{(s+3)\left(s^{2}+4\right)}\right]

Observaçāo importante:

Esta questiôo nâo será corrigida se ela for resolvida por algum outro método.

Passo 1

O que o enunciado dá e pede (resumido, com tudo que é relevante):
  • Foi dada a transformada no domínio de Laplace
F(s)=\frac{13s}{(s+3)\left(s^{2}+4\right)}.
  • Pede-se \mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}, isto é, encontrar a função temporal f(t) tal que \mathcal{L}\{f(t)\}=F(s).
  • Observação do enunciado: resolver usando a tabela de transformadas de Laplace e o teorema da convolução (portanto não usar outro método).

Passo 2

Lembrete didático: teorema da convolução e pares da tabela que usaremos.
  • Teorema da convolução (versão que usaremos): se G(s)=\mathcal{L}\{g(t)\} e H(s)=\mathcal{L}\{h(t)\}, então
\mathcal{L}^{-1}\{G(s)H(s)\}=(g*h)(t)=\int_{0}^{t} g(\tau)\,h(t-\tau)\,d\tau.
Explicando: g e h são funções no tempo; G e H são suas transformadas em s. O símbolo * indica convolução no tempo. A integral vai de 0 a t porque adotamos a transformada unilateral (causalidade).
  • Pares de Laplace que vamos usar (da tabela):
    • \mathcal{L}\{e^{-at}\}=\dfrac{1}{s+a}, onde a é constante real.
    • \mathcal{L}\{\cos(\omega t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+\omega^{2}}, onde \omega>0.
      Explicando as variáveis: a é a taxa de decaimento exponencial (se positiva dá decaimento), \omega é a frequência angular do cosseno. Essas fórmulas significam que a transformada de e^{-at} é 1/(s+a) e a transformada de \cos(\omega t) é s/(s^2+\omega^2).

Passo 3

Identificar F(s) como produto de duas transformadas da tabela (isso habilita uso do teorema da convolução):
F(s)=\frac{13s}{(s+3)(s^{2}+4)}=\frac{1}{s+3}\cdot\frac{13s}{s^{2}+4}.
Usando os pares da tabela:
  • \dfrac{1}{s+3} é a transformada de e^{-3t}, isto é \mathcal{L}\{e^{-3t}\}=\dfrac{1}{s+3}.
  • \dfrac{13s}{s^{2}+4}=13\cdot\dfrac{s}{s^{2}+2^{2}} é a transformada de 13\cos(2t), pois \mathcal{L}\{\cos(2t)\}=\dfrac{s}{s^{2}+4}.
    Logo, definimos
g(t)=e^{-3t},\qquad h(t)=13\cos(2t),
e portanto, pela convolução,
f(t)=\mathcal{L}^{-1}\{F(s)\}=(g*h)(t)=\int_{0}^{t} e^{-3\tau}\,13\cos\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,d\tau.

Passo 4

Montar a integral de convolução e preparar para calcular:
f(t)=13\int_{0}^{t} e^{-3\tau}\cos\bigl(2(t-\tau)\bigr)\,d\tau.
Para integrar é conveniente usar a identidade trigonométrica de ângulo da diferença:
\cos\bigl(2(t-\tau)\bigr)=\cos(2t)\cos(2\tau)+\sin(2t)\sin(2\tau).
Substituindo na integral e tirando fatores independentes de \tau para fora:
f(t)=13\Bigl[\cos(2t)\int_{0}^{t} e^{-3\tau}\cos(2\tau)\,d\tau+\sin(2t)\int_{0}^{t} e^{-3\tau}\sin(2\tau)\,d\tau\Bigr].
Definimos as duas integrais auxiliares
I_{c}(t)=\int_{0}^{t} e^{-3\tau}\cos(2\tau)\,d\tau,\qquad I_{s}(t)=\int_{0}^{t} e^{-3\tau}\sin(2\tau)\,d\tau.

Passo 5

Calcular as integrais I_{c}(t) e I_{s}(t) usando fórmulas conhecidas (ou integração por partes). Fórmulas úteis (válidas para a real e b>0):
\int e^{a\tau}\cos(b\tau)\,d\tau=\frac{e^{a\tau}\bigl(a\cos(b\tau)+b\sin(b\tau)\bigr)}{a^{2}+b^{2}}+C,
\int e^{a\tau}\sin(b\tau)\,d\tau=\frac{e^{a\tau}\bigl(a\sin(b\tau)-b\cos(b\tau)\bigr)}{a^{2}+b^{2}}+C.
Aqui a=-3 e b=2. Aplicando para integrais definidas de 0 a t:
Para I_{c}(t):
I_{c}(t)=\left[\frac{e^{-3\tau}\bigl(-3\cos(2\tau)+2\sin(2\tau)\bigr)}{(-3)^{2}+2^{2}}\right]_{0}^{t} =\frac{1}{13}\Bigl(e^{-3t}\bigl(-3\cos(2t)+2\sin(2t)\bigr)+3\Bigr).
Para I_{s}(t):
I_{s}(t)=\left[\frac{e^{-3\tau}\bigl(-3\sin(2\tau)-2\cos(2\tau)\bigr)}{13}\right]_{0}^{t} =\frac{1}{13}\Bigl(e^{-3t}\bigl(-3\sin(2t)-2\cos(2t)\bigr)+2\Bigr).

Passo 6

Substituir I_{c}(t) e I_{s}(t) em f(t) e simplificar cuidadosamente:
\begin{aligned} f(t)&=13\Bigl[\cos(2t)\,I_{c}(t)+\sin(2t)\,I_{s}(t)\Bigr]\\[4pt] &=13\Bigl[\cos(2t)\cdot\frac{1}{13}\bigl(e^{-3t}(-3\cos(2t)+2\sin(2t))+3\bigr)\\[4pt] &\qquad\qquad+\sin(2t)\cdot\frac{1}{13}\bigl(e^{-3t}(-3\sin(2t)-2\cos(2t))+2\bigr)\Bigr]\\[4pt] &=\cos(2t)\bigl(e^{-3t}(-3\cos(2t)+2\sin(2t))+3\bigr)\\[4pt] &\qquad+\sin(2t)\bigl(e^{-3t}(-3\sin(2t)-2\cos(2t))+2\bigr). \end{aligned}
Agora expandir os termos que multiplicam e^{-3t} e agrupar:
\begin{aligned} f(t)&=e^{-3t}\bigl[-3\cos^{2}(2t)+2\sin(2t)\cos(2t)-3\sin^{2}(2t)-2\sin(2t)\cos(2t)\bigr]\\[4pt] &\qquad+3\cos(2t)+2\sin(2t). \end{aligned}
Note que os termos 2\sin(2t)\cos(2t) e -2\sin(2t)\cos(2t) se cancelam, e \cos^{2}(2t)+\sin^{2}(2t)=1. Assim o coeficiente do e^{-3t} fica -3(\cos^{2}+\sin^{2})=-3. Portanto
f(t)=-3e^{-3t}+3\cos(2t)+2\sin(2t).]

Resposta

f(t)=3\cos(2t)+2\sin(2t)-3e^{-3t}

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