Encontre a transformada de Laplace da função.
f(t)=\int_{0}^{t}(t-u)^{2} cos (2 u) d u.

Passo 1

O enunciado pede a transformada de Laplace de
f(t)=\int_{0}^{t}(t-u)^{2}\,\cos(2u)\,\mathrm{d}u.
Este tipo de integral é justamente uma convolução entre g(t)=t^{2} e h(t)=\cos(2t). Para resolver, vamos usar a propriedade da transformada de Laplace de convolução:
\mathcal{L}\{g*h\}(s)=\mathcal{L}\{g\}(s)\,\mathcal{L}\{h\}(s).

Passo 2

Calculamos a transformada de Laplace de g(t)=t^{2}. Pela tabela de transformadas:
\mathcal{L}\{t^{2}\}(s) =\frac{2}{s^{3}}.

Passo 3

Em seguida, obtemos a transformada de Laplace de h(t)=\cos(2t). Também da tabela:
\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s) =\frac{s}{s^{2}+4}.

Passo 4

Usando a propriedade de convolução, temos
\mathcal{L}\{f\}(s) =\mathcal{L}\{t^{2}\}(s)\;\mathcal{L}\{\cos(2t)\}(s) =\frac{2}{s^{3}}\;\cdot\;\frac{s}{s^{2}+4} =\frac{2}{s^{2}\,\bigl(s^{2}+4\bigr)}.

Resposta

\boxed{\mathcal{L}\{f\}(s)=\frac{2}{s^{2}\,(s^{2}+4)}.}

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