Encontre a solução da EDO com condições iniciais.
y^{\text {iv }}+5 y^{\prime \prime}+4 y=g(t) ; y(0)=1, y^{\prime}(0)=0, y^{\prime \prime}(0)=0, y^{\prime \prime \prime}(0)=0.

Passo 1

O enunciado pede a solução de
y^{\mathrm{iv}} + 5y'' + 4y = g(t)
com condições iniciais
y(0)=1,\quad y'(0)=0,\quad y''(0)=0,\quad y'''(0)=0.
O método escolhido será a transformada de Laplace, que transforma a EDO em uma equação algébrica em função de s.

Passo 2

Aplique a transformada de Laplace em cada termo, lembrando que
\mathcal{L}\{y^{(4)}\}(s) = s^4Y(s) - s^3y(0) - s^2y'(0) - s\,y''(0) - y'''(0),
\mathcal{L}\{y''\}(s)=s^2Y(s)-s\,y(0)-y'(0),
\mathcal{L}\{y\}(s)=Y(s),
e escreva \mathcal{L}\{g\}(s)=G(s). Substituindo as condições iniciais só resta o termo com y(0)=1.

Passo 3

A equação transformada fica
\bigl(s^4+5s^2+4\bigr)Y(s) \;-\; \bigl(s^3+5s\bigr) \;=\; G(s).
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Y(s) \;=\;\frac{G(s)}{(s^2+1)(s^2+4)} \;+\;\frac{s^3+5s}{(s^2+1)(s^2+4)}.

Passo 4

Separe em parte homogênea e parte de resposta ao impulso. Primeiro a parte homogênea:
Y_h(s)=\frac{s^3+5s}{(s^2+1)(s^2+4)}.
Fazendo frações parciais do numerador s^3+5s obtemos
\frac{s^3+5s}{(s^2+1)(s^2+4)} =\frac{\tfrac{4}{3}s}{s^2+1}\;-\;\frac{\tfrac{1}{3}s}{s^2+4}.
Invertendo a transformada de Laplace:
y_h(t) =\tfrac{4}{3}\cos t \;-\;\tfrac{1}{3}\cos(2t).

Passo 5

Agora a parte de resposta ao impulso (Green):
H(s)=\frac{1}{(s^2+1)(s^2+4)} =\frac{1/3}{s^2+1}\;-\;\frac{1/3}{s^2+4}.
Invertendo dá
h(t)=\tfrac{1}{3}\sin t \;-\;\tfrac{1}{6}\sin(2t).
A solução particular é a convolução
y_p(t) =\int_{0}^{t}h(t-\tau)\,g(\tau)\,\mathrm{d}\tau =\int_{0}^{t}\Bigl(\tfrac{1}{3}\sin\bigl(t-\tau\bigr) -\tfrac{1}{6}\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)\Bigr)\,g(\tau)\,\mathrm{d}\tau.

Resposta

\boxed{ y(t) =\frac{4}{3}\cos t \;-\;\frac{1}{3}\cos(2t) \;+\;\int_{0}^{t}\Bigl(\tfrac{1}{3}\sin\bigl(t-\tau\bigr) -\tfrac{1}{6}\sin\bigl(2(t-\tau)\bigr)\Bigr)\,g(\tau)\,\mathrm{d}\tau. }

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