[2 Pontos] Calcule o momento de inércia em relação ao eixo y do sólido homogêneo W com densidade igual a 1 , delimitado pelos planos z=0, x=0, x=1, y+z=1 e-y+z=1.

Passo 1

O enunciado pede o momento de inércia em relação ao eixo y de um sólido homogêneo W de densidade 1, limitado por
;z=0,;x=0,;x=1,;y+z=1 e -y+z=1.
Para um sólido de densidade unitária, o momento de inércia em relação ao eixo y é
Iy=integral triplaW(x^2+z^2),dV

Passo 2

Vamos entender a seção transversal em cada plano x=constante. Nas variáveis (y,z), as planícies
y+z=1Longrightarrow z=1-y,
-y+z=1Longrightarrow z=1+y,
z=0
formam o triângulo de vértices l(y,zr)=(-1,0),,(1,0) e (0,1).
Logo em coordenadas:
0<= x<=1, -1<= y<=1, 0<= z<= 1-|y|

Passo 3

Escrevemos o integral triplo e já separamos em duas parcelas:
Iy =integralx=0^1!integraly=-1^1!integralz=0^1-|y|l(x^2+z^2r),dz,dy,dx =underbraceintegral0^1!x^2,dx(A);cdot!underbraceintegral duplatriang<=1,dAárea do triângulo ;+; integral0^1!dx;underbraceintegral duplatriang<=z^2,dA(B) áâ

Passo 4

Calcular (A) e a área do triângulo:
integral0^1x^2,dx =[x^33]0^1 =13,
e a área do triângulo de base 2 e altura 1 vale
2cdot12=1
Portanto a parcela em x^2 tfrac13times1=tfrac13.

Passo 5

Calcular (B):
integral duplatriang<=z^2,dA =integraly=-1^1!integralz=0^,1-|y|z^2,dz,dy =integral-1^1(1-|y|)^33,dy =23integral0^1(1-y)^3dy =23cdot14 =16
Como integral0^1dx=1, a parcela em z^2 é tfrac16.

Passo 6

Somando as duas parcelas temos
Iy=13+16=12

Resposta

Iy=12.

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