[2 Pontos] Calcule o momento de inércia em relação ao eixo y do sólido homogêneo W com densidade igual a 1 , delimitado pelos planos .
Passo 1
O enunciado pede o momento de inércia em relação ao eixo de um sólido homogêneo de densidade , limitado por e .
Para um sólido de densidade unitária, o momento de inércia em relação ao eixo é
Passo 2
Vamos entender a seção transversal em cada plano . Nas variáveis , as planícies
formam o triângulo de vértices e .
Logo em coordenadas:
Passo 3
Escrevemos o integral triplo e já separamos em duas parcelas:
Passo 4
Calcular (A) e a área do triângulo:
integral0^1x^2,dx =[x^33]0^1 =13,
e a área do triângulo de base 2 e altura 1 vale
2cdot12=1
Portanto a parcela em x^2 dá tfrac13times1=tfrac13.
Passo 5
Calcular (B):
integral duplatriang<=z^2,dA =integraly=-1^1!integralz=0^,1-|y|z^2,dz,dy =integral-1^1(1-|y|)^33,dy =23integral0^1(1-y)^3dy =23cdot14 =16