Calcule as seguintes integrais usando o método da substituição:
integral(e^x+1)^3 e^x d x

Passo 1

Beleza, vamos lá! A gente precisa calcular a integral de (e^x + 1)^3 e^x em relação a x . Isso faz parte do conteúdo de Cálculo Integral, especificamente usando o método da substituição. Para resolver, vamos precisar identificar uma parte da função que podemos substituir por uma nova variável para simplificar a integral.

Passo 2

Primeiro, vamos identificar uma substituição que torne a integral mais fácil. Olha só: dentro da integral, temos (e^x + 1)^3 multiplicado por e^x . Isso sugere que podemos deixar u = e^x + 1 .

Passo 3

Agora, vamos derivar u em relação a x para encontrar du :
dudx = e^x
Então, podemos escrever:
du = e^x dx

Passo 4

Perfeito! Agora, vamos reescrever a integral em termos de u e du . Substituindo:
integral (e^x + 1)^3 e^x dx = integral u^3 du

Passo 5

Agora, a integral ficou muito mais simples: integral u^3 du . Para resolver isso, vamos usar a regra da potência para integrais, que diz que integral u^n du = u^n+1n+1 + C , onde C é a constante de integração.

Passo 6

Aplicando a regra da potência:
integral u^3 du = u^44 + C

Passo 7

Agora, vamos voltar para a variável original x . Lembrando que u = e^x + 1 , substituímos de volta:
u^44 + C = (e^x + 1)^44 + C

Resposta

A integral de (e^x + 1)^3 e^x dx é:
(e^x + 1)^44 + C

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