[2 Pontos] Usando coordenadas esféricas, calcule o volume do sólido interior à superfície esférica x^2+y^2+z^2=9 e exterior à superfície cilíndrica x^2+y^2=94.

Passo 1

O enunciado pede o volume do sólido que está
– por dentro da esfera de raio 3, dada por
x^2 + y^2 + z^2 = 9,
– por fora do cilindro de raio 3/2 em torno do eixo z, dado por
x^2 + y^2 = tfrac94
Vamos usar coordenadas esféricas (rho,phi,theta), onde
x = rhosinphicostheta, y = rhosinphisintheta, z = rhocosphi,
e o elemento de volume é
dV = rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta

Passo 2

Em esféricas, a esfera impõe
0 <= rho <= 3
O cilindro x^2+y^2=rho^2sin^2phi=tfrac94 corresponde a
rho,sinphi = tfrac32 Longrightarrow rho = 3/2sinphi
Como queremos estar por fora do cilindro, devemos ter
rho >= 3/2sinphi
Para que isso seja possível com rho<=3, precisamos de
3/2sinphi<= 3 Long<=ftrightarrow sinphi >= tfrac12 Long<=ftrightarrow phiinl[tfracpi6,,tfrac5pi6r]
O ângulo theta varia de 0 a 2pi.

Passo 3

Montamos o integral do volume:
V =integraltheta=0^2pi integralphi=pi/6^5pi/6 integralrho=(3/2)/sinphi^3 rho^2sinphi ,drho,dphi,dtheta

Passo 4

Integramos em rho:
integralrho=(3/2)/sinphi^3rho^2,drho =l[tfracrho^33r](3/2)/sinphi^3 =tfrac13l(27 - (3/2)^3sin^3phir) =9 - 98,csc^3phi
Multiplicando por sinphi, o integrando em phi fica
9sinphi ;-;98,sinphi,csc^3phi =9sinphi ;-;98,csc^2phi
Então
V =2piintegralpi/6^5pi/6 l(9sinphi - tfrac98csc^2phir) ,dphi

Passo 5

Calculemos as primitivas:
integral 9sinphi,dphi = -9cosphi, integral !-tfrac98csc^2phi,dphi = tfrac98cotphi
Logo a primitiva total é
F(phi) = -9cosphi + tfrac98cotphi
Avaliando de phi=pi/6 a phi=5pi/6:
F(5pi/6) = -9l(-tfracraiz32r) + tfrac98l(-raiz3r) = tfrac9raiz32 - tfrac9raiz38 = tfrac27raiz38,
F(pi/6) = -9l(tfracraiz32r) + tfrac98l(raiz3r) = -tfrac9raiz32 + tfrac9raiz38 = -tfrac27raiz38
Portanto
integralpi/6^5pi/6 l(9sinphi - tfrac98csc^2phir) ,dphi = F(5pi/6)-F(pi/6) = tfrac27raiz34
Multiplicando por 2pi, vem

Passo 6

V = 2pi cdot 27raiz34 = 27piraiz32

Resposta

V = 27piraiz32

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