[2 Pontos] Usando coordenadas esféricas, calcule o volume do sólido interior à superfície esférica
e exterior à superfície cilíndrica
.
Passo 1
O enunciado pede o volume do sólido que está
– por dentro da esfera de raio , dada por
– por dentro da esfera de raio
– por fora do cilindro de raio
em torno do eixo
, dado por
Vamos usar coordenadas esféricas
, onde
e o elemento de volume é
Passo 2
Em esféricas, a esfera impõe
O cilindro
corresponde a
Como queremos estar por fora do cilindro, devemos ter
Para que isso seja possível com
, precisamos de
O ângulo
varia de
a
.
Passo 3
Montamos o integral do volume:
Passo 4
Integramos em
:
Multiplicando por
, o integrando em
fica
Então
Passo 5
Calculemos as primitivas:
Logo a primitiva total é
Avaliando de
a
:
Portanto
Multiplicando por
, vem