[2 Pontos] Determine a massa da lâmina delgada na forma da região D exterior à circunferência x^2+y^2=9 e interior à circunferência x x^2+y^2=6 x, se a densidade de massa em cada ponto P(x, y) é inversamente proporcional à distância de P à origem e se a constante de proporcionalidade é igual a 6 .

Passo 1

O enunciado pede a massa de uma lâmina cujo domínio é a região
D=(x,y)mid x^2+y^2>=9 e x^2+y^2<=6x
e cuja densidade em cada ponto P(x,y) é
de<a(x,y)=6raizx^2+y^2
Para resolver, vamos usar coordenadas polares, em que x=rcostheta, y=rsintheta, a densidade fica de<a=6/r e o elemento de área vale dA=r,dr,dtheta.

Passo 2

Em polares, a condição exterior a x^2+y^2=9 vira
r>=3,
e a condição interior à x^2+y^2=6x equivale a
r^2=6rcosthetaLongrightarrow r<=6costheta
Para que 6costheta>=3 precisamos de costheta>=12, ou seja
-pi3<=theta<=pi3

Passo 3

A massa é
M=integral duplaDde<a(x,y),dA =integraltheta=-pi/3^pi/3integralr=3^6costheta6r;r,dr,dtheta =integral-pi/3^pi/3integral3^6costheta6,dr,dtheta

Passo 4

Calculando a integral interna em r:
integral3^6costheta6,dr =6l[rr]3^6costheta =6l(6costheta-3r)

Passo 5

Agora a integral em theta:
M =integral-pi/3^pi/36l(6costheta-3r),dtheta =6l[6!integral-pi/3^pi/3costheta,dtheta -3!integral-pi/3^pi/3dthetar]
Como
integral-pi/3^pi/3costheta,dtheta=raiz3
e
integral-pi/3^pi/3dtheta=tfrac2pi3,
segue
M =6l(6raiz3-3cdottfrac2pi3r) =6l(6raiz3-2pir) =36raiz3-12pi

Resposta

A massa da lâmina é
boxed36raiz3-12pi

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