[2 Pontos] Determine a massa da lâmina delgada na forma da região
exterior à circunferência
e interior à circunferência x
, se a densidade de massa em cada ponto
é inversamente proporcional à distância de P à origem e se a constante de proporcionalidade é igual a 6 .
Passo 1
O enunciado pede a massa de uma lâmina cujo domínio é a região
e cuja densidade em cada ponto
é
Para resolver, vamos usar coordenadas polares, em que
,
, a densidade fica
e o elemento de área vale
.
Passo 2
Em polares, a condição exterior a
vira
e a condição interior à
equivale a
Para que
precisamos de
, ou seja
Passo 3
A massa é
Passo 4
Calculando a integral interna em
:
Passo 5
Agora a integral em
:
Como
e
,
segue
e
segue
Resposta
A massa da lâmina é