[2 Pontos] Calcule
onde a curva
é a união dos dois segmentos de reta de
a
e de
a
, nesta orientação.
Solução: A curva
, onde
e
são os segmentos do enunciado, não é uma curva fechada. Assim acrescentamos o segmento
que liga
a
e obtemos uma curva fechada onde podemos aplicar o teorema de Green. Seja
. Então,
Passo 1
O enunciado pede para calcular a integral de linha aberta
P(dx,dy)=
dx +
dy ao longo de C, que é a união dos segmentos de (2,0) a (1,1) e de (1,1) a (0,0). O conteúdo principal envolve integral de linha de um campo vetorial e o uso do Teorema de Green para curvas fechadas.
Passo 2
Como C não é fechada, acrescentamos o segmento C₃ que liga (0,0) a (2,0) de modo a obter a curva fechada C′ = C ∪ C₃, orientada positivamente (anti-horário). Então a integral que queremos é
Passo 3
Identificamos P
=
e Q
=
. Calculamos a diferença das derivadas parciais:
Passo 4
Pelo Teorema de Green,
Como D é o triângulo com vértices (0,0),(2,0),(1,1), sua base vale 2 e altura 1, logo
Passo 5
Sobre C₃ temos y=0, dy=0 e P(x,0)=x²+\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}x=x². Logo
Logo a integral buscada é
Resposta
-\tfrac{2}{3}