[2 Pontos] Calcule
ointC(x^2+sen(x+y)-sen(x)) d x+(2 x+sen(x+y)) d y
onde a curva C é a união dos dois segmentos de reta de (2,0) a (1,1) e de (1,1) a (0,0), nesta orientação.
Solução: A curva C=C1 cup C2, onde C1 e C2 são os segmentos do enunciado, não é uma curva fechada. Assim acrescentamos o segmento C3 que liga (0,0) a (2,0) e obtemos uma curva fechada onde podemos aplicar o teorema de Green. Seja C^prime==C1 cup C2 cup C3. Então,
ointpartial D F cdot d r=integral duplaD(partial Qpartial x-partial Ppartial y) d x d y partial Qpartial x-partial Ppartial y=2+cos (x+y)-cos (x+y)=2 ointC^prime(x^2+sen(x+y)-sen(x)) d x+(2 x+sen(x+y)) d y =integral dupla int (C^prime) 2 d x d y =2 área do interior de(C^prime)=2 cdot 12 cdot 2 cdot 1=2 á

Passo 1

O enunciado pede para calcular a integral de linha aberta
P(dx,dy)= x^2+sen(x+y)-sen(x) dx + 2x+sen(x+y) dy ao longo de C, que é a união dos segmentos de (2,0) a (1,1) e de (1,1) a (0,0). O conteúdo principal envolve integral de linha de um campo vetorial e o uso do Teorema de Green para curvas fechadas.

Passo 2

Como C não é fechada, acrescentamos o segmento C₃ que liga (0,0) a (2,0) de modo a obter a curva fechada C′ = C ∪ C₃, orientada positivamente (anti-horário). Então a integral que queremos é
ointC = ointC' - ointC3.

Passo 3

Identificamos P x,y= x^2+sen(x+y)-sen(x) e Q x,y= 2x+sen(x+y). Calculamos a diferença das derivadas parciais:
partial Qpartial x-partial Ppartial y=l(2+cos(x+y)r)-cos(x+y)=2

Passo 4

Pelo Teorema de Green,
ointC'P,dx+Q,dy=integral duplaDl(partial Qpartial x-partial Ppartial yr)dA=integral duplaD2,dA=2cdotÁrea(D)Á
Como D é o triângulo com vértices (0,0),(2,0),(1,1), sua base vale 2 e altura 1, logo Área(D)=tfrac12times2times1=1Á. Assim ointC'=2.

Passo 5

Sobre C₃ temos y=0, dy=0 e P(x,0)=x²+\operatorname{sen}x-\operatorname{sen}x=x². Logo
ointC3P,dx=integral0^2x^2,dx=l[tfracx^33r]0^2=tfrac83
Logo a integral buscada é
ointC=ointC'-ointC3=2-tfrac83=-tfrac23

Resposta

-\tfrac{2}{3}

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