[2 Pontos] Seja
a curva de interseção da superfície de equação
com o plano
, desde o ponto
até o ponto
. Parametrize a curva
e calcule o trabalho realizado pela força
para deslocar uma partícula através da curva
.
Passo 1
Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas superfícies:
- Uma superfície definida pela equação
com a condição . - Um plano definido por
.
A curva
é a interseção dessas duas superfícies, ou seja, os pontos que satisfazem ambas as equações. Precisamos parametrizar essa curva e depois calcular o trabalho feito pela força
ao mover uma partícula ao longo dessa curva de
até
.
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de geometria analítica para parametrizar a curva e de cálculo vetorial para calcular o trabalho realizado pelo campo de força.
Passo 2
Primeiro, vamos simplificar a equação
. Podemos rearranjar essa equação para facilitar a parametrização:
Completando o quadrado para o termo em
:
Então, a equação representa um círculo de raio 2, centrado em
no plano
. Como
, estamos considerando a parte superior deste círculo.
Passo 3
Agora, como a curva
está na interseção desse círculo com o plano
, podemos substituir
por
na parametrização.
Vamos parametrizar
em função de um parâmetro
. Já que estamos lidando com um círculo, é conveniente usar coordenadas polares:
Aqui,
varia de 0 a
para cobrir a parte superior do círculo.
Como
, temos:
Então, a parametrização da curva
é:
Passo 4
Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela força
ao longo da curva
. O trabalho é dado pela integral de linha:
Vamos primeiro encontrar
, que é a derivada de
em relação a
:
Passo 5
Agora, substituímos as coordenadas da parametrização na força
:
Passo 6
Calculamos o produto escalar
:
Simplificando:
Passo 7
Agora, integramos essa expressão de
a
:
Vamos resolver a integral term por term.
Passo 8
Primeiro, integrando
:
Sabemos que
, então:
Passo 9
Agora, integrando
:
Passo 10
Somando os dois resultados:
Resposta
O trabalho realizado pela força
ao deslocar a partícula ao longo da curva
é 0.