[2 Pontos] Seja C a curva de interseção da superfície de equação x^2+y^2=4 y, y >= 2 com o plano y=z, desde o ponto (2,2,2) até o ponto (0,4,4). Parametrize a curva C e calcule o trabalho realizado pela força F=(x, z-y, 2 y) para deslocar uma partícula através da curva C.

Passo 1

Beleza, vamos dar uma olhada no que a questão está pedindo. Temos duas superfícies:
  1. Uma superfície definida pela equação x^2 + y^2 = 4y com a condição y >= 2.
  2. Um plano definido por y = z.
A curva C é a interseção dessas duas superfícies, ou seja, os pontos que satisfazem ambas as equações. Precisamos parametrizar essa curva e depois calcular o trabalho feito pela força F = (x, z - y, 2y) ao mover uma partícula ao longo dessa curva de (2,2,2) até (0,4,4).
Para resolver isso, vamos precisar de conhecimentos de geometria analítica para parametrizar a curva e de cálculo vetorial para calcular o trabalho realizado pelo campo de força.

Passo 2

Primeiro, vamos simplificar a equação x^2 + y^2 = 4y. Podemos rearranjar essa equação para facilitar a parametrização:
x^2 + y^2 - 4y = 0
Completando o quadrado para o termo em y:
x^2 + (y^2 - 4y + 4) = 4
x^2 + (y - 2)^2 = 4
Então, a equação representa um círculo de raio 2, centrado em (0,2) no plano xy. Como y >= 2, estamos considerando a parte superior deste círculo.

Passo 3

Agora, como a curva C está na interseção desse círculo com o plano y = z, podemos substituir z por y na parametrização.
Vamos parametrizar y em função de um parâmetro theta. Já que estamos lidando com um círculo, é conveniente usar coordenadas polares:
x = 2costheta
y = 2sintheta + 2
Aqui, theta varia de 0 a pi para cobrir a parte superior do círculo.
Como z = y, temos:
z = 2sintheta + 2
Então, a parametrização da curva C é:
r(theta) = (2costheta, 2sintheta + 2, 2sintheta + 2), 0 <= theta <= pi

Passo 4

Agora, vamos calcular o trabalho realizado pela força F = (x, z - y, 2y) ao longo da curva C. O trabalho é dado pela integral de linha:
W = integralC F cdot dr
Vamos primeiro encontrar dr, que é a derivada de r(theta) em relação a theta:
drdtheta = (-2sintheta, 2costheta, 2costheta) dtheta

Passo 5

Agora, substituímos as coordenadas da parametrização na força F:
F(theta) = (2costheta, (2sintheta + 2) - (2sintheta + 2), 2(2sintheta + 2)) = (2costheta, 0, 4sintheta + 4)

Passo 6

Calculamos o produto escalar F cdot drdtheta:
F cdot drdtheta = (2costheta)(-2sintheta) + (0)(2costheta) + (4sintheta + 4)(2costheta)
Simplificando:
-4costheta sintheta + 0 + 8costheta sintheta + 8costheta = 4costheta sintheta + 8costheta

Passo 7

Agora, integramos essa expressão de theta = 0 a theta = pi:
W = integral0^pi (4costheta sintheta + 8costheta) dtheta
Vamos resolver a integral term por term.

Passo 8

Primeiro, integrando 4costheta sintheta:
Sabemos que integral costheta sintheta dtheta = 12sin^2theta, então:
4 integral0^pi costheta sintheta dtheta = 4 [ 12sin^2theta ]0^pi = 2 [sin^2pi - sin^20] = 2 [0 - 0] = 0

Passo 9

Agora, integrando 8costheta:
8 integral0^pi costheta dtheta = 8 [sintheta]0^pi = 8 [sinpi - sin0] = 8 [0 - 0] = 0

Passo 10

Somando os dois resultados:
W = 0 + 0 = 0

Resposta

O trabalho realizado pela força F ao deslocar a partícula ao longo da curva C é 0.

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